Peluang Kejadian Berulang: Dari Urutan ke Total

Peluang Satu Skenario

Peluang dari suatu urutan kejadian saling bebas dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing kejadian. Ketika seorang atlet melepaskan tembakan atau kita bermain mini-game sebanyak beberapa ronde, hasil di satu ronde tidak memengaruhi hasil di ronde berikutnya.

Bayangkan kamu bermain mini-game putaran gacha sebanyak $4$ ronde berturut-turut. Di tiap ronde, peluang kamu mendapatkan Menang adalah $\frac{2}{3}$ dan peluang mendapatkan Zonk adalah $\frac{1}{3}$. Jika kamu membidik satu urutan yang sangat spesifik—misalnya berturut-turut Menang, Menang, Menang, lalu ditutup Zonk ($MMMZ$)—kamu cukup mengalikan nilai peluangnya di setiap ronde:

$$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$$

Hasil kali di atas menghasilkan angka $\frac{8}{81}$. Nilai inilah yang tercantum pada Opsi A.

Sebuah koin tidak seimbang memiliki peluang muncul Angka (A) sebesar $3/4$ dan Gambar (G) sebesar $1/4$. Jika koin dilempar sebanyak $3$ kali, berapa peluang muncul urutan spesifik Angka-Angka-Gambar (AAG)?

  • 3/4
  • 9/64
  • 27/64
  • 27/192

Jawaban: 9/64

Peluang untuk satu urutan spesifik dihitung dengan mengalikan peluang tiap kejadian secara berurutan: P(AAG) = P(A) x P(A) x P(G) = (3/4) x (3/4) x (1/4) = 9/64. Opsi A keliru karena hanya melihat peluang satu Angka. Opsi C keliru karena menghitung peluang Angka semua (AAA). Opsi D keliru dalam operasi perkalian penyebut.

Peluang satu urutan spesifik didapat dengan mengalikan peluang masing-masing kejadian tunggalnya.

Variasi Posisi Skenario

Kejadian berulang dengan syarat total tanpa syarat urutan akan memiliki beberapa variasi posisi yang memenuhi. Pada soal, atlet hanya diminta untuk mengenai sasaran tepat $3$ kali dari $4$ percobaan, tanpa menentukan di tembakan ke berapa kegagalan tersebut harus terjadi.

Dalam analogi gacha, syarat "tepat $3$ kali Menang" berarti ronde yang bernilai Zonk bebas berada di urutan mana pun sepanjang $4$ ronde yang dimainkan. Jika kita daftarkan semua variasi posisi yang mungkin, tembakan meleset tersebut bisa berpindah tempat:

Diagram 4 variasi susunan posisi satu tembakan meleset Zonk di antara tiga tembakan tepat Menang .

Dari visual di atas, tampak jelas ada $4$ kemungkinan susunan urutan yang menghasilkan tepat $3$ kali kena dan $1$ kali meleset:

  1. $ZMMM$ (meleset di tembakan ke-1)

  2. $MZMM$ (meleset di tembakan ke-2)

  3. $MMZM$ (meleset di tembakan ke-3)

  4. $MMMZ$ (meleset di tembakan ke-4)

Seseorang bermain undian berhadiah sebanyak $5$ kali dan berharap mendapatkan tepat $1$ kali kekalahan (ampas). Berapa banyak kemungkinan urutan yang menghasilkan $4$ kemenangan dan $1$ kekalahan?

  • 1 susunan
  • 4 susunan
  • 5 susunan
  • 6 susunan

Jawaban: 5 susunan

Karena kekalahan (ampas) hanya terjadi tepat 1 kali dari total 5 kali percobaan, posisi kekalahan tersebut bisa berada di percobaan ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, atau ke-5. Oleh karena itu, ada tepat 5 susunan urutan yang mungkin. Opsi B keliru karena mengikuti angka kemenangan. Opsi A keliru karena menganggap urutan tidak berpengaruh. Opsi D keliru dalam mencacah posisi.

Jumlah susunan kejadian dengan 1 hasil berbeda adalah sama dengan total jumlah percobaan.

Menyatukan Susunan dan Peluang

Peluang total dari suatu peristiwa dihitung dengan menjumlahkan peluang setiap urutan yang memenuhi syarat kejadian tersebut. Karena setiap susunan urutan merupakan kejadian yang terpisah dan tidak terjadi bersamaan, kita menggabungkan peluangnya melalui penjumlahan.

Setiap susunan urutan tunggal—baik itu $ZMMM$, $MZMM$, $MMZM$, maupun $MMMZ$—memiliki peluang yang sama persis berkat sifat komutatif perkalian, yaitu:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{8}{81}$$

Diagram penggabungan 4 susunan peluang masing-masing 8/81 yang menghasilkan peluang total 32/81.

Karena ada $4$ variasi susunan urutan yang sama-sama menghasilkan $3$ tembakan tepat, kita menjumlahkan seluruh peluang urutan tersebut:

$$\frac{8}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} = 4 \times \frac{8}{81} = \frac{32}{81}$$

Perhitungan inilah yang menjadikan Opsi D sebagai jawaban yang benar.

Jika peluang satu skenario gagal dua kali dalam suatu game adalah 1/8, dan total ada 3 posisi skenario kegagalan yang memenuhi syarat, tentukan kebenaran pernyataan berikut:

  • Peluang total kejadian game tersebut adalah 3/8. — Benar
  • Peluang total dihitung dengan mengalikan 1/8 x 1/8 x 1/8. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Karena terdapat 3 variasi posisi yang saling lepas dan masing-masing berpeluang 1/8, maka peluang totalnya adalah 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3 x (1/8) = 3/8. Pernyataan 2 Salah: Mengalikan peluang antar skenario (1/8 x 1/8 x 1/8) adalah keliru karena skenario-skenario ini merupakan pilihan urutan yang saling lepas (terjadi skenario A ATAU skenario B ATAU skenario C), sehingga peluangnya harus dijumlahkan.

Peluang total kejadian dari beberapa variasi susunan dihitung lewat menjumlahkan peluang tiap variasi tersebut, bukan mengalikan antar skenario.