Akar Kembar dan Teorema Vieta pada Matriks
Makna A - kI Singular
Matriks singular selalu didefinisikan secara aljabar sebagai matriks yang determinannya sama dengan nol. Kondisi ini membuat matriks tidak memiliki invers karena pembagian dengan determinan bernilai nol tidak terdefinisi.
Ketika kita berhadapan dengan ekspresi $A - kI$, konstanta skalar $k$ hanya memengaruhi elemen-elemen pada diagonal utama matriks $A$. Matriks identitas $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ hanya memiliki angka $1$ pada diagonal utamanya dan $0$ di tempat lain. Akibatnya, matriks $kI$ bernilai $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$.
Dengan mengurangkan $kI$ dari $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, kita peroleh matriks baru:
$$A - kI = \begin{pmatrix} 2-k & 1 \\ -1 & 0-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-k & 1 \\ -1 & -k \end{pmatrix}$$
Syarat matriks singular menuntut nilai determinan matriks ini sama dengan nol:
$$\det(A - kI) = 0$$
Persamaan inilah yang berperan layaknya DNA matriks; dari determinan inilah seluruh karakteristik nilai skalar $k$ yang membuat matriks kehilangan inversnya akan diturunkan secara eksak. Kesalahan perhitungan aritmetika pada tahap determinan ini sering kali membuat seseorang keliru memilih Opsi E (bernilai $3$).
Menurunkan Persamaan Kuadrat
Ekspansi determinan $(A - kI) = 0$ selalu menghasilkan persamaan polinomial dalam variabel $k$. Untuk matriks persegi berordo $2 \times 2$ berbentuk $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, determinannya diperoleh dari selisih perkalian diagonal utama dengan diagonal sekunder, yaitu $ad - bc$.
Pada matriks kita, perhitungannya dilakukan secara terstruktur:
Perkalian diagonal utama: $(2 - k)(-k) = -2k + k^2 = k^2 - 2k$
Perkalian diagonal sekunder: $(1)(-1) = -1$
Pengurangan determinan: $(ad) - (bc) = (k^2 - 2k) - (-1) = k^2 - 2k + 1$
Karena matriks harus berupa matriks singular, kita samakan hasilnya dengan nol:
$$k^2 - 2k + 1 = 0$$
Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 1 & x-1 \end{pmatrix}$ adalah matriks singular. Persamaan kuadrat apa yang menggambarkan kondisi singular matriks $B$ tersebut?
- $x^2 - x - 2 = 0$
- $x^2 - x + 2 = 0$
- $x^2 + x - 2 = 0$
- $-x^2 - 2 = 0$
Jawaban: $x^2 - x - 2 = 0$
Syarat matriks singular adalah determinannya sama dengan nol ($\det(B) = 0$). Untuk matriks $B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 1 & x-1 \end{pmatrix}$, determinannya dihitung dengan selisih diagonal: $ad - bc = x(x - 1) - (2)(1) = x^2 - x - 2 = 0$. Opsi B salah tanda pada pengurangan diagonal sekunder, Opsi C salah tanda pada perkalian $x(x-1)$, dan Opsi D mengabaikan suku linier $-x$.
Ekspansi determinan (A - xI) menghasilkan polinomial derajat dua pada matriks 2x2.
Akar Kembar dan Teorema Vieta
Akar kembar pada persamaan derajat $n$ dihitung sebanyak $n$ kali, sehingga hasil kali akarnya tetap memenuhi rumus $\frac{c}{a}$. Dari persamaan karakteristik $k^2 - 2k + 1 = 0$, kita dapat memfaktorkannya secara langsung:
$$(k - 1)^2 = 0 \implies (k - 1)(k - 1) = 0$$
Persamaan ini memberikan dua akar dengan nilai yang sama (akar kembar): $k_1 = 1$ dan $k_2 = 1$. Meskipun nilainya identik, dalam struktur polinomial dan DNA matriks, keduanya adalah dua akar terpisah yang memiliki multiplisitas $2$.
Berdasarkan Teorema Vieta, untuk setiap persamaan kuadrat $ak^2 + bk + c = 0$, relasi koefisien dengan akar-akarnya dirumuskan sebagai:
$$k_1 + k_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{dan} \quad k_1 \cdot k_2 = \frac{c}{a}$$
Untuk $k^2 - 2k + 1 = 0$, kita memiliki $a = 1$, $b = -2$, dan $c = 1$.
Hasil kali semua nilai $k$ adalah $k_1 \cdot k_2 = 1 \times 1 = 1$, atau langsung lewat $\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$. Inilah alasan Opsi C benar.
Jika seseorang terkecoh menghitung jumlah akar ($k_1 + k_2 = -\frac{-2}{1} = 2$), ia akan salah memilih Opsi D.
Diberikan persamaan $m^2 - 4m + 4 = 0$ yang memiliki akar kembar di $m = 2$. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan terkait hasil kali semua nilai $m$ berikut!
- Hasil kali semua nilai $m$ yang memenuhi adalah 2 karena hanya ada satu nilai $m$ yang ditemukan. — Salah
- Menurut Teorema Vieta, hasil kalinya dapat langsung ditentukan dari koefisien konstanta dibagi koefisien kuadrat ($\frac{c}{a} = 4$). — Benar
Pernyataan 1 Salah: Persamaan kuadrat berderajat dua selalu memiliki dua akar menurut Teorema Fundamental Aljabar. Jika akarnya kembar di $m = 2$, maka $m_1 = 2$ dan $m_2 = 2$, sehingga hasil kalinya adalah $m_1 \times m_2 = 2 \times 2 = 4$. Pernyataan 2 Benar: Teorema Vieta memperhitungkan multiplisitas akar polinomial, sehingga hasil kali kedua akar dapat langsung dihitung dari konstanta dibagi koefisien kuadrat, yaitu $\frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$.
Hasil kali akar kembar tetap mengikuti rumus perkalian dua akar (c/a).