Trik Luas Transformasi Geometri

Hitung Dulu Luas Awalnya

Sebelum masuk ke transformasi, kita harus memastikan luas awal bangunnya sudah benar.

Diagram segitiga ABC pada bidang Kartesius dengan titik A 3,1 , B 3,4 , dan C 0,2 memperlihatkan alas vertikal bernilai 3 dan tinggi horizontal bernilai 3.

Sering kali kita merasa perlu menghitung rumus jarak titik ke garis yang rumit di bidang Kartesius. Padahal, kita cukup mencari sisi yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Perhatikan titik $A(3,1)$ dan $B(3,4)$. Karena nilai absisnya sama ($x=3$), sisi $AB$ membentuk garis vertikal lurus. Panjang sisi ini menjadi alas segitiga:

$$\text{Alas} = |4 - 1| = 3$$

Karena sisi alasnya vertikal di garis $x=3$, maka tinggi segitiga adalah jarak horizontal tegak lurus dari titik $C(0,2)$ ke garis $x=3$:

$$\text{Tinggi} = |3 - 0| = 3$$

Dengan alas dan tinggi yang sudah tegak lurus, kita hitung luas awalnya:

$$\text{Luas}_{\text{awal}} = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4{,}5$$

Ibarat mengukur luas bidang cetak pada foto digital sebelum diedit, angka $4{,}5$ inilah yang menjadi modal dasar kita.

Isometri: Pindah Tapi Ukuran Sama

Refleksi dan rotasi hanya memindahkan bangun tanpa mengubah luasnya sedikit pun.

Dalam Transformasi Geometri, pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi) termasuk ke dalam kelompok isometri (dari bahasa Yunani isos = sama, metros = ukuran). Sifat utama isometri adalah mempertahankan jarak antar titik dan bentuk bangun secara utuh.

Bayangkan kamu sedang memutar atau membalik foto di layar ponsel. Saat foto diputar $30^\circ$ atau dicerminkan secara horizontal, objek di dalam foto berubah orientasi dan arah hadapnya, tetapi ukuran fisik penampang foto tidak meregang atau menyusut.

Sebuah persegi panjang digeser 5 satuan ke kanan, dicerminkan terhadap suatu garis, lalu diputar sebesar 90 derajat. Apa yang terjadi dengan luas persegi panjang tersebut?

  • Luasnya bertambah karena jaraknya semakin jauh dari titik awal.
  • Luasnya tetap persis sama seperti semula.
  • Luasnya berubah tergantung seberapa besar sudut putarannya.
  • Luasnya menjadi negatif karena telah melewati pencerminan.

Jawaban: Luasnya tetap persis sama seperti semula.

Translasi (geser), refleksi (cermin), dan rotasi (putar) adalah transformasi isometri. Transformasi ini mempertahankan panjang sisi, sudut, dan luas bangun semula sehingga luasnya tetap persis sama. Jarak pergeseran maupun sudut putar tidak mengubah ukuran fisik benda, dan luas bangun tidak pernah bernilai negatif.

Isometri (translasi, refleksi, rotasi) tidak mengubah ukuran luas bangun datar.

Dilatasi: Kenapa Kuadrat?

Faktor skala pada dilatasi mengalikan luas sebesar kuadrat skalanya, bukan dikali langsung.

Ilustrasi persegi berukuran 1 kali 1 berdampingan dengan persegi berukuran 2 kali 2 yang memuat 4 kotak satuan di dalamnya.

Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil bangun datar sebanding dengan faktor skala ($k$). Namun, faktor skala $k$ bekerja pada dimensi panjang (dimensi $1$).

Karena luas melibatkan dua dimensi (panjang dan lebar, atau alas dan tinggi), maka saat bangun didilatasi dengan faktor $k$:

Akibatnya, luas baru menjadi:

$$\text{Luas}_{\text{baru}} = k \times k \times \text{Luas}_{\text{awal}} = k^2 \times \text{Luas}_{\text{awal}}$$

Ibarat memakai fitur zoom foto sebesar $2\times$, panjang dan lebar foto sama-sama berlipat dua, sehingga area layar yang tertutupi foto menjadi $2^2 = 4$ kali lebih luas.

Sebuah foto cetak memiliki luas 10 cm². Foto tersebut kemudian diperbesar menggunakan mesin fotokopi dengan faktor skala 3. Berapakah luas foto yang baru?

  • 90 cm²
  • 30 cm²
  • 60 cm²
  • 10 cm²

Jawaban: 90 cm²

Faktor skala k = 3 melipatgandakan panjang dan lebar masing-masing sebesar 3 kali lipat. Akibatnya, faktor pengali luas adalah k² = 3² = 9. Jadi, luas foto yang baru adalah 10 cm² × 9 = 90 cm². Pilihan 30 cm² keliru karena hanya mengalikan secara linear (10 × 3).

Dilatasi dengan faktor skala k mengalikan luas bangun sebesar k kuadrat.