Membongkar Invers Fungsi Kuadrat: Langkah demi Langkah

Kenapa Domainnya Harus Dibatasi?

Waktu ngerjain soal tadi, kamu mungkin mengira syarat $x \ge 3$ itu cuma "syarat formal" supaya nilai di dalam akar nanti nggak negatif. Wajar banget mikir gitu, tapi ternyata bukan itu alasan utamanya!

Coba bayangkan bentuk grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Bentuknya melengkung seperti huruf "U" (parabola). Sumbu simetrinya (titik terendahnya) ada di $x = 3$.

Kalau kurva "U" ini kita invers (dipantulkan miring), bentuknya bakal tiduran jadi seperti huruf "C". Nah, di dunia matematika, kurva bentuk "C" bukanlah sebuah fungsi. Kenapa? Karena aturan utama sebuah fungsi adalah: satu nilai input ($x$) cuma boleh punya satu pasangan output ($y$). Kalau bentuknya "C", satu nilai $x$ bakal ditarik ke dua nilai $y$ yang beda (atas dan bawah).

Biar hasil inversnya sah jadi fungsi, kita harus memotong parabola itu jadi separuh. Syarat domain $x \ge 3$ dari soal itulah yang bertugas sebagai "pisau potong"-nya. Kita cuma mengambil sisi kanan kurva yang terus naik (monoton), sehingga saat di-invers, hasilnya aman.

Apa alasan sebenarnya domain fungsi kuadrat di soal ini dibatasi x >= 3?

  • A. Agar nilai di dalam akar tidak menjadi negatif saat proses aljabar.
  • B. Agar kurva hanya punya satu sisi (naik saja atau turun saja), sehingga hasil inversnya tetap berupa fungsi.
  • C. Karena fungsi kuadrat tidak bisa dihitung jika nilai x-nya kurang dari 3.
  • D. Untuk memindahkan sumbu simetri parabola ke titik (0,0).

Jawaban: B. Agar kurva hanya punya satu sisi (naik saja atau turun saja), sehingga hasil inversnya tetap berupa fungsi.

Tanpa batasan domain, invers parabola akan berbentuk 'C' (satu input x menghasilkan dua y), yang menyalahi aturan fungsi. Memotongnya memastikan kurva menjadi fungsi satu-satu.

Batasan domain pada fungsi kuadrat bertujuan agar fungsi tersebut bersifat satu-satu, sehingga memiliki invers yang sah (bukan relasi satu-ke-banyak).

Step 1 & 2: Setup & Masalah Utama

Karena kamu suka penjelasan yang terstruktur, yuk kita bedah langkah aljabarnya pelan-pelan. Tujuan utama kita mencari invers adalah mencari kebalikan dari fungsinya.

Langkah 1: Kita ganti nama $f(x)$ jadi $y$ biar gampang dihitung. Fungsi asal kita adalah: $y = x^2 - 6x + 5$ (Ingat, di sini syarat asalnya adalah $x \ge 3$)

Langkah 2: Ini dia inti dari proses invers! Kita tukar posisi $x$ dan $y$. Setelah ditukar, bentuknya berubah jadi: $x = y^2 - 6y + 5$

Nah, karena variabelnya udah kita tukar, syarat batasannya juga ikut bertukar dong! Syarat $x \ge 3$ tadi sekarang otomatis berubah menjadi $y \ge 3$.

Sekarang misi kita adalah mengutak-atik persamaan baru itu supaya menjadi bentuk "$y = \text{sesuatu}$" (mengisolasi $y$). Tapi, kita langsung nabrak satu masalah besar.

Kalau kamu menebak-nebak opsi jawaban yang kelihatannya punya angka 3 dan 5 (seperti Opsi C), tebakan itu belum tepat karena variabel $y$-nya lagi "terkunci" di dua tempat: ada yang punya pangkat dua ($y^2$), ada yang cuma pangkat satu ($-6y$).

Kita nggak bisa sembarangan memindahkannya ke kiri atau membaginya. Kita butuh trik aljabar khusus buat "menyatukan" kedua $y$ tersebut. Trik ini bakal kita bahas di halaman berikutnya!

Step 3: Trik 'Melengkapkan Kuadrat'

Untuk menyatukan variabel $y$ yang terpecah tadi, kita pakai trik yang namanya melengkapkan kuadrat sempurna.

Idenya begini: kita ingin "memaksa" bentuk $y^2 - 6y + 5$ menjadi bentuk kurung yang ada kuadratnya, seperti $(y - \text{angka})^2$. Kalau bentuknya udah di dalam satu kurung, variabel $y$-nya cuma muncul satu kali, dan kita tinggal memindah-mindahkan ruas!

Yuk kita operasi bentuk $y^2 - 6y + 5$:

Begini resep rahasianya:

  1. Lihat angka di depan variabel $y$ (yaitu $-6$).

  2. Bagi dua angka tersebut (hasilnya $-3$).

  3. Kuadratkan hasilnya ($(-3)^2 = 9$). Angka $9$ inilah "bumbu" yang kita butuhkan.

Kita pinjam angka $+9$ dan langsung kita kembalikan lagi dengan $-9$ supaya nilai aslinya nggak berubah: $x = (y^2 - 6y + 9) - 9 + 5$

Nah, bagian yang di dalam kurung $(y^2 - 6y + 9)$ itu punya keajaiban. Dia adalah bentuk mekar dari $(y - 3)^2$. Kita bisa meringkasnya!

Sisa angkanya tinggal kita hitung: $-9 + 5 = -4$. Bentuk persamaan kita sekarang berubah jadi manis banget: $x = (y - 3)^2 - 4$

Kalau kamu punya bentuk y^2 + 8y + 3, angka berapa yang harus kamu pinjam (tambah dan kurang) untuk melengkapkan kuadratnya?

  • A. +4 dan -4
  • B. +8 dan -8
  • C. +16 dan -16
  • D. +64 dan -64

Jawaban: C. +16 dan -16

Angka di depan y adalah 8. Dibagi 2 menjadi 4. Dikuadratkan menjadi 16. Jadi kita butuh menambahkan +16 dan mengurangkan -16 agar persamaannya tidak berubah nilai.

Melengkapkan kuadrat sempurna dilakukan dengan membagi dua koefisien suku linear (pangkat 1), lalu menguadratkannya.