Merasionalkan Pecahan: Ngecor Fondasi Akar
Kenapa Harus Rasional?
Pecahan matematika standar mengharuskan penyebut berupa nilai yang bulat dan pasti, bukan bentuk akar yang berdesimal tak berujung.
Bilangan akar seperti $\sqrt{7}$ adalah bilangan irasional yang nilainya berkisar $2{,}64575\dots$ tanpa ujung dan tanpa pola berulang. Membagi suatu angka—seperti angka $6$ pada soal—dengan penyebut $(\sqrt{7} - 2) \approx 0{,}64575\dots$ ibarat membangun rumah di atas fondasi yang goyah. Jika kita harus menghitung pembagian bersusun secara manual, membagi dengan angka desimal tak berujung di bawah akan sangat merepotkan.
Tujuan utama merasionalkan penyebut adalah mengecor dan merapikan fondasi tersebut agar menjadi bilangan bulat atau bentuk rasional yang pasti, tanpa mengubah nilai asli pecahannya sama sekali.
Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah terkait tujuan merasionalkan pecahan:
- Tujuan utama merasionalkan pecahan adalah membuat nilai penyebutnya menjadi bilangan desimal tak berujung agar presisi. — Salah
- Merasionalkan pecahan tidak mengubah besaran asli dari pecahan tersebut, hanya mengubah tampilannya. — Benar
Pernyataan pertama salah karena tujuan merasionalkan pecahan adalah mengubah penyebut irasional (desimal tak berujung) menjadi bilangan rasional (bulat/pasti). Pernyataan kedua benar karena kita mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan atas-bawah (bernilai 1), sehingga hanya wujudnya yang berubah sementara nilainya tetap ekuivalen.
Tujuan dari merasionalkan pecahan bentuk akar.
Alat Pengecor: Sekawan
Mengalikan suatu ekspresi akar dengan bentuk sekawannya akan menghilangkan bentuk akar lewat pola selisih kuadrat.
Pasangan yang hanya berbeda tanda di antara dua sukunya disebut sebagai Bentuk Sekawan. Jika penyebut kita adalah $(\sqrt{7} - 2)$, maka bentuk sekawannya adalah $(\sqrt{7} + 2)$.
Mengapa perkalian sekawan ini begitu ampuh? Karena aljabar memiliki jalan pintas Selisih Kuadrat:
$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
Saat dua ekspresi sekawan dikalikan, perkalian suku-suku tengahnya akan saling menghilangkan ($+2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 0$). Mari kita uji langsung pada penyebut di soal kita:
$$(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3$$
Jika penyebut sebuah pecahan adalah $(\sqrt{5} + 1)$, berapa hasil perkalian penyebut tersebut dengan bentuk sekawannya?
- 4
- 6
- akar 5 dikurang 1
- akar 24
Jawaban: 4
Bentuk sekawan dari (akar 5 + 1) adalah (akar 5 - 1). Berdasarkan sifat selisih kuadrat (a + b)(a - b) = a^2 - b^2, maka (akar 5 + 1)(akar 5 - 1) = (akar 5)^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4. Opsi B salah karena menjumlahkan suku bukannya mengurangkan (5 + 1). Opsi C salah karena baru menyebutkan sekawannya tanpa mengalikannya. Opsi D salah karena memanipulasi akar tanpa aturan aljabar.
Hasil kali suatu bentuk aljabar dengan bentuk sekawannya menghasilkan selisih kuadrat masing-masing suku.
Aturan Main: Keadilan Pecahan
Mengalikan dengan bentuk sekawan hanya boleh dilakukan jika kita mengalikan bagian atas dan bawah dengan ekspresi yang sama.
Pecahan menyatakan rasio perbandingan. Supaya nilainya tidak berubah saat kita mengecor penyebutnya, bagian atas (pembilang) dan bagian bawah (penyebut) harus diperlakukan secara adil. Ketika penyebut dikalikan dengan $(\sqrt{7} + 2)$, pembilang juga wajib dikalikan dengan bentuk yang persis sama:
$$\frac{6}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{6(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}$$
Karena $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = 1$, kita sebenarnya hanya mengalikan pecahan tersebut dengan angka $1$. Nilai hakikinya tetap sama, hanya tampilan luarnya yang kita rapikan.
Gabungkan dengan hitungan penyebut dari halaman sebelumnya:
$$\frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3}$$