Operasi Himpunan: Langkah per Langkah

Step 1: Mendata Anggota & Faktor

Sebelum kita bisa mengotak-atik sebuah operasi himpunan yang bentuknya rumit seperti $C \cap (A \cup B)^c$, hal pertama yang wajib dilakukan adalah mendaftar semua isi dari tiap himpunan. Kalau anggota-anggotanya masih berwujud huruf dan aturan, kita ubah dulu jadi wujud angka nyata.

Mari kita data isi dari Semesta ($S$), Himpunan $A$, $B$, dan $C$:

Gimana dengan Himpunan $C$? $C$ adalah himpunan "faktor positif dari 12". Faktor dari sebuah bilangan adalah semua angka yang bisa membagi bilangan itu sampai habis tanpa sisa.

Banyak yang bingung atau suka kelewatan saat mendaftar faktor. Cara paling gampang dan sistematis adalah dengan mencari pasangan perkalian mulai dari angka 1.

Dengan memasangkan perkalian seperti diagram di atas, kita dijamin nggak akan melewatkan angka satupun! Dari pasangan-pasangan itu, kita kumpulkan semua angkanya dari yang terkecil sampai yang terbesar. Hasilnya, $C = 1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Metode pasangan perkalian sangat membantu. Dari daftar berikut, pasangan manakah yang merupakan faktor dari bilangan 20? (Pilih semua yang benar)

  • 1 dan 20
  • 2 dan 10
  • 3 dan 7
  • 4 dan 5

Jawaban: 1 dan 20; 2 dan 10; 4 dan 5

1x20 = 20, 2x10 = 20, dan 4x5 = 20. Sementara 3x7 = 21, bukan 20.

Faktor dari sebuah bilangan bisa dicari dengan mendaftar semua pasangan angka yang jika dikalikan menghasilkan bilangan tersebut.

Step 2: Operasi Gabungan ($\cup$)

Sekarang kita sudah punya daftar semua anggota. Operasi yang kita tuju adalah $C \cap (A \cup B)^c$. Berdasarkan aturan matematika, yang ada di dalam tanda kurung harus kita kerjakan duluan. Jadi, kita mulai dari $A \cup B$.

Simbol $\cup$ dibaca sebagai Union atau Gabungan.

Tapi ada satu aturan emas di himpunan: Kita tidak pernah menuliskan elemen yang kembar berulang kali. Kalau di keranjangmu ada bola berangka "2" dan di keranjang temanmu juga ada bola berangka "2", di dalam kardus gabungan angka "2" itu cukup diwakili oleh satu bola saja.

Mari kita coba gabungkan Himpunan $A = 2, 3, 4, 5, 6$ dan Himpunan $B = 2, 3, 5, 7$!

Saat digabungkan, elemen yang sama (yaitu $2, 3$, dan $5$) akan melebur jadi satu. Hasil gabungannya adalah: $A \cup B = 2, 3, 4, 5, 6, 7$

Jika Himpunan X = {1, 2, 3} dan Himpunan Y = {3, 4, 5}, berapakah jumlah anggota (elemen) dari himpunan X ∪ Y?

  • A. 3
  • B. 4
  • C. 5
  • D. 6

Jawaban: C. 5

X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Angka 3 yang kembar cukup dihitung satu kali, sehingga totalnya ada 5 anggota.

Gabungan (Union) dari dua himpunan berisi semua elemen unik dari kedua himpunan tersebut tanpa menuliskan angka yang kembar berulang kali.

Step 3: Konsep Komplemen ($^c$)

Setelah kita dapat isi dari keranjang besar $A \cup B$, langkah berikutnya adalah mencari $(A \cup B)^c$.

Ada tanda pangkat huruf "c" kecil di sana. Tanda $^c$ (dibaca: Komplemen) artinya "segala sesuatu yang BUKAN bagian dari himpunan ini, TAPI masih berada di dalam himpunan Semesta."

Cara mengeksekusinya sangat mirip dengan mencoret daftar belanjaan!

  1. Jejerkan seluruh anggota Semesta ($S$).

  2. Ambil daftar $(A \cup B)$ yang sudah kita hitung sebelumnya, yaitu $2, 3, 4, 5, 6, 7$.

  3. Coret angka-angka tersebut dari daftar Semesta. Sisanya adalah hasil Komplemen!

Yuk, coba coret sendiri di bawah ini untuk mencari $(A \cup B)^c$:

Hasil dari coret-mencoret kita adalah: $(A \cup B)^c = 1, 8, 9, 10, 11, 12$

Tentukan Benar atau Salah pernyataan mengenai Komplemen ini! Asumsikan Semesta (S) adalah bilangan asli 1 sampai 10.

  • Jika himpunan P = {bilangan genap}, maka P^c = {bilangan ganjil}. — Benar
  • Komplemen dari Semesta (S^c) adalah S itu sendiri. — Salah

Pernyataan pertama Benar: sisa dari {bilangan genap} di semesta {1..10} adalah {bilangan ganjil}. Pernyataan kedua Salah: Komplemen dari Semesta adalah himpunan kosong { }, karena tidak ada sisa lagi di luar semesta!

Komplemen himpunan berisi semua anggota Semesta yang TIDAK ada di himpunan tersebut.