Membongkar Pola Keterbagian Kuadrat

Jebakan Mencoba Angka

Menguji rumus dengan satu pasang angka saja belum cukup untuk membuktikan sifat yang berlaku untuk semua bilangan. Saat kita berhadapan dengan soal tentang keterbagian yang meminta hasil pasti untuk setiap kemungkinan, godaan terbesarnya adalah langsung mengambil angka sembarang dan mengujinya sekali jalan.

Ilustrasi dua jalur jalan setapak, satu jalan pintas yang tampak mulus namun berujung jurang buntu, dan satu jalan utama kokoh yang berkelok menuju puncak.

Sebagai contoh, jika kita memilih dua bilangan ganjil $m = 5$ dan $n = 1$:

$$m^2 - n^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24$$

Karena angka $24$ habis dibagi $6$, sekilas Opsi B ($6$) tampak sangat meyakinkan.

Namun, mari kita uji dengan pasangan lain. Ambil $m = 3$ dan $n = 1$:

$$m^2 - n^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$$

Angka $8$ ternyata tidak habis dibagi $6$. Ini membuktikan bahwa pembagian oleh $6$ hanyalah kebetulan pada pasangan tertentu dan bukan sifat yang pasti berlaku untuk semua pasangan. Membayangkan sifat bilangan seperti memasukkan barang ke dalam wadah: satu wadah yang pas untuk satu contoh belum tentu muat untuk contoh lainnya. Agar kita menemukan pembagi pasti tanpa harus menguji angka satu per satu sampai tak hingga, kita memerlukan cetakan aljabar yang mewakili seluruh bilangan ganjil.

Budi mengamati angka 3, 5, dan 7, lalu ia mengklaim: 'Semua bilangan ganjil adalah bilangan prima.' Angka mana yang paling tepat dan cukup untuk membuktikan bahwa klaim Budi tersebut salah?

  • Angka 2
  • Angka 9
  • Angka 11
  • Angka 15 dan 21 sekaligus

Jawaban: Angka 9

Klaim Budi menyatakan 'semua bilangan ganjil adalah bilangan prima'. Untuk menggugurkan pernyataan ini, kita hanya butuh satu contoh bilangan ganjil yang bukan prima. Angka 9 adalah bilangan ganjil yang memiliki faktor selain 1 dan dirinya sendiri ($9 = 3 \times 3$), sehingga klaim langsung gugur. Angka 11 salah karena 11 adalah bilangan prima. Angka 2 salah karena bukan bilangan ganjil. Pilihan dua angka sekaligus tidak tepat karena dalam logika matematika cukup satu contoh penyangkal saja.

Satu contoh penyangkal (counter-example) sudah cukup untuk menggugurkan sebuah aturan atau klaim umum.

Ganjil dalam Cetakan Aljabar

Semua bilangan ganjil dapat dituliskan dengan pola aljabar $2k + 1$. Alih-alih menebak angka tertentu, aljabar memberi kita cara untuk melihat struktur penyusun dari setiap bilangan secara utuh.

Bayangkan bilangan genap sebagai kumpulan barang yang selalu bisa dikemas berpasangan ke dalam kardus isi dua. Jika ada $k$ buah kardus, maka total barang genap adalah $2k$. Sementara itu, bilangan ganjil adalah bilangan genap yang memiliki tepat satu barang sisa di luar kardus.

Oleh karena itu, setiap bilangan ganjil sembarang selalu dapat dinyatakan ke dalam cetakan aljabar:

Sebagai contoh ilustrasi, angka $5$ tersusun dari $2(2) + 1$, sedangkan angka $7$ tersusun dari $2(3) + 1$. Dengan memakai variabel $k$ dan $l$, kita tidak lagi berbicara tentang satu atau dua angka spesifik, melainkan seluruh anggota keluarga bilangan ganjil sekaligus.

Membongkar Kuadrat

Substitusi cetakan ganjil ke selisih kuadrat menghasilkan ekspresi kelipatan 4. Sekarang kita masukkan cetakan aljabar $m = 2k + 1$ dan $n = 2l + 1$ ke dalam bentuk $m^2 - n^2$ yang ditanyakan pada soal.

Mari kita jabarkan kuadrat dari masing-masing bilangan:

$$(2k + 1)^2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k^2 + 4k + 1$$

$$(2l + 1)^2 = (2l + 1)(2l + 1) = 4l^2 + 4l + 1$$

Sekarang kurangkan kedua bentuk kuadrat tersebut:

$$m^2 - n^2 = (4k^2 + 4k + 1) - (4l^2 + 4l + 1)$$

$$m^2 - n^2 = 4k^2 + 4k - 4l^2 - 4l$$

Perhatikan bahwa angka $1$ di bagian belakang saling meniadakan, dan seluruh suku yang tersisa memiliki koefisien $4$. Kita bisa mengeluarkan angka $4$ ke luar tanda kurung:

$$m^2 - n^2 = 4\big((k^2 + k) - (l^2 + l)\big)$$

Jika kita faktorkan masing-masing variabel di dalamnya, bentuknya menjadi:

$$m^2 - n^2 = 4\big(k(k + 1) - l(l + 1)\big)$$

Jika sebuah bilangan ganjil dinyatakan dalam bentuk p = 2a + 1, manakah bentuk pemfaktoran yang tepat untuk ekspresi p^2 - 1?

  • 2a^2 + 2a
  • 4a^2 + 1
  • 4a(a + 1)
  • 4a^2 + 4a + 1

Jawaban: 4a(a + 1)

Substitusikan $p = 2a + 1$ ke dalam $p^2 - 1$. Penjabaran kuadratnya adalah $(2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$. Saat dikurangi $1$, kita peroleh $4a^2 + 4a + 1 - 1 = 4a^2 + 4a$. Dengan memfaktorkan angka $4a$, bentuk akhirnya menjadi $4a(a + 1)$. Opsi A salah karena lupa mengkuadratkan koefisien 2. Opsi B salah karena melewatkan suku tengah $2(2a)(1) = 4a$. Opsi D salah karena lupa mengurangkan konstanta 1 di akhir.

Penjabaran kuadrat bilangan ganjil berbentuk (2a + 1)^2 selalu menghasilkan suku kelipatan 4 ditambah 1.