Membedah Deret Selang-Seling: Menghitung Suku

Efek Langkah Maju-Mundur

Waktu melihat deret seperti $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + n$, instingmu sudah sangat tepat menyadari bahwa kalau jumlahnya positif ($2024$), pasti $n$ itu bilangan ganjil. Kenapa bisa begitu? Mari kita bongkar efek langkah selang-seling ini.

Daripada menghitung dari kiri ke kanan satu per satu, coba bayangkan setiap angka sebagai langkah maju (positif) dan mundur (negatif) di atas sebuah garis bilangan.

Setiap kali kita maju $1$ langkah, kita langsung dipaksa mundur lebih jauh sebanyak $2$ langkah. Efek bersihnya (resultan vektornya) kita mundur 1 langkah, bernilai $-1$. Hal yang sama terjadi di pasangan berikutnya: maju $3$ lalu mundur $4$, efeknya tetap $-1$.

Artinya, ketimbang menjumlahkan belasan ribu angka, kita cukup mengelompokkan dua suku berdekatan yang selalu menghasilkan nilai netto yang sama!

Karena kamu sudah menduga $n$ bernilai ganjil, maka pasti ada satu suku terakhir (yaitu suku ke-$n$) yang "jomblo" alias tidak punya pasangan pengurang genap di sebelah kanannya. Inilah yang membuat total akhirnya bisa melambung jadi positif $2024$!

Berdasarkan logika pasangan di atas, apa yang terjadi jika deret ini justru berhenti di bilangan genap (misalnya $n=1000$)?

  • A. Hasilnya akan sama saja, hanya beda selisih satu angka.
  • B. Hasil penjumlahannya pasti akan selalu negatif.
  • C. Nilai akhirnya akan menjadi 0.
  • D. Tidak bisa ditentukan tanpa menghitung jumlah sukunya.

Jawaban: B. Hasil penjumlahannya pasti akan selalu negatif.

Jika deret berhenti di bilangan genap, semua suku masuk ke dalam pasangan (ganjil - genap) yang bernilai -1. Tidak ada suku 'jomblo' positif, sehingga total akhirnya pasti sekumpulan -1 yang dijumlahkan (hasilnya negatif).

Jika deret selang-seling berakhir pada bilangan genap, semua bilangan mendapat pasangan sehingga hasil akhirnya pasti negatif.

Misteri Menghitung Banyaknya Suku

Tantangan utama yang sering bikin "kepeleset" adalah: sebenarnya ada berapa sih angka ganjil dari $1$ sampai $n$? Ataupun angka genap dari $2$ sampai $n-1$?

Untuk menentukannya, kita pakai analogi jarak dan tiang pancang (Fencepost Logic).

Bayangkan angka ganjil $1, 3, 5, \dots, n$ sebagai tiang-tiang pagar. Jarak dari tiang pertama (angka $1$) ke tiang terakhir (angka $n$) adalah $(n - 1)$.

Karena ini bilangan ganjil yang berurutan, jarak antar tiang adalah $2$ (disebut juga beda barisan/lompatan). Maka, ada berapa banyak celah lompatan? Tentu saja: $\frac{n - 1}{2}$.

Maka, banyaknya bilangan ganjil dari $1$ sampai $n$ adalah: $m = \frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}$ buah bilangan.

Gimana dengan barisan bilangan genap $2, 4, 6, \dots, n-1$? Jarak totalnya dari $2$ sampai $n-1$ adalah $(n - 1) - 2 = n - 3$. Jumlah lompatannya $\frac{n - 3}{2}$. Tambah $1$ (untuk tiang pertama), maka banyaknya bilangan genap adalah $\frac{n - 3}{2} + 1 = \frac{n - 1}{2}$ buah bilangan.

ilustrasi

Berdasarkan analogi tiang pagar, manakah pernyataan berikut yang BENAR? (Pilih semua yang sesuai)

  • Banyak bilangan dalam deret ganjil 1, 3, 5, ..., 99 adalah 50.
  • Banyak bilangan genap dalam deret 2, 4, 6, ..., 100 adalah 50.
  • Banyaknya bilangan bulat dari 5 sampai 10 adalah (10 - 5) = 5.
  • Jika sebuah deret berisi semua bilangan asli berurutan sampai angka genap $N$, maka jumlah bilangan ganjil dan genap di dalamnya sama banyak.

Jawaban: Banyak bilangan dalam deret ganjil 1, 3, 5, ..., 99 adalah 50.; Banyak bilangan genap dalam deret 2, 4, 6, ..., 100 adalah 50.; Jika sebuah deret berisi semua bilangan asli berurutan sampai angka genap $N$, maka jumlah bilangan ganjil dan genap di dalamnya sama banyak.

Pernyataan 1 dan 2 benar (dihitung pakai rumus tiang pagar). Pernyataan 3 salah, karena banyak bilangan bulat berurutan dari 5 ke 10 adalah (10-5)+1 = 6 bilangan. Pernyataan 4 benar, jika n genap (misal n=10), banyaknya suku ganjil (1,3,5,7,9) dan genap (2,4,6,8,10) sama, yaitu 10/2 = 5.

Banyaknya suku (m) dalam deret dengan lompatan berjarak tetap (d) selalu dihitung dengan rumus ((suku_terakhir - suku_awal) / d) + 1.

Membedah Cara Resmi: Rata-Rata × Jumlah Suku

Di solusi resmi/author, deretnya dipisah jadi dua tim yang saling berhadapan: Tim Ganjil: $(1 + 3 + 5 + \dots + n)$ dikurangi Tim Genap: $(2 + 4 + \dots + n-1)$.

Solusinya tampak rumit dengan pecahan panjang. Namun tenang, kamu lebih menyukai visual! Sebenarnya, rumus jumlah deret aritmetika adalah murni hitungan luas persegi panjang.

Sebuah deret yang bertambah dengan nilai konstan bisa dibayangkan sebagai tumpukan blok berbentuk tangga. Kalau "tangga" itu digabungkan dengan bayangannya sendiri (dibalik), akan membentuk persegi panjang sempurna!

Luas daerah deret (Jumlah total) hanyalah: Nilai Rata-rata $\times$ Banyaknya Suku

Mari kita pakai ke Tim Ganjil $(1 + 3 + \dots + n)$:

Tim Genap $(2 + 4 + \dots + n-1)$:

Kalau keduanya dikurangkan, kamu akan dapat nilai $2024$. Tapi, kita punya cara yang lebih gampang daripada mengkuadratkan $n$!