Duduk Melingkar dan Syarat Tidak Bersebelahan

Kenapa Susunan Melingkar $(n-1)!$

Permutasi siklis menggunakan $(n-1)!$ karena satu objek harus 'dipaku' agar susunan yang hanya diputar tidak dihitung berulang.

Bayangkan kamu sedang menanam $6$ pohon peneduh (pria) di sepanjang jalan lurus. Ada ujung awal dan ujung akhir yang jelas, sehingga ada $6! = 720$ susunan berbeda. Namun, saat $6$ pohon peneduh tersebut ditanam melingkar mengelilingi sebuah taman atau meja bundar, ujung awal dan akhir itu lenyap. Jika semua orang bergeser satu kursi serentak searah jarum jam, formasi tetangga di sebelah kiri dan kanannya tetap sama persis.

Cara mengatasinya adalah dengan permutasi siklis: kita menetapkan satu pohon peneduh (pria pertama) sebagai patokan diam di tempat duduknya. Setelah patokan itu "dipaku", kursi-kursi lainnya kini memiliki posisi acuan (misal: "dua kursi di kanan patokan" atau "tepat di seberang patokan"). Akibatnya, sisa $6 - 1 = 5$ orang lainnya dapat disusun layaknya susunan biasa, yaitu $(6-1)! = 5!$ cara.

Prinsip yang sama berlaku untuk mencari total ruang sampel $n(S)$ dari seluruh $9$ orang ($6$ pria dan $3$ wanita) yang duduk di meja bundar tanpa syarat apa pun:

$$n(S) = (9 - 1)! = 8!$$

Jebakan Komplemen

Peluang 'tidak ada wanita berdampingan' bukan berarti $1$ dikurangi 'semua wanita berdampingan', karena kasus $2$ wanita berdampingan juga dilarang.

Banyak orang terjebak memilih Opsi E ($\frac{25}{28}$). Angka ini muncul ketika seseorang mencoba menggunakan rumus komplemen secara terburu-buru: menghitung peluang ketiga pot bunga (wanita) berkumpul di satu tempat, lalu mengurangkannya dari $1$. Jika ketiga wanita diikat menjadi $1$ kelompok, total entitas yang disusun di meja bundar menjadi $6$ pria $+ 1$ kelompok wanita $= 7$ entitas. Peluang ketiganya berkumpul adalah $\frac{(7-1)! \times 3!}{8!} = \frac{6! \times 6}{8!} = \frac{3}{28}$, sehingga nilai komplemennya adalah $1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$.

Namun, perhatikan pembagian kasus pada diagram di atas. Syarat soal adalah tidak ada wanita yang duduk berdampingan. Itu artinya, kita dilarang memiliki $3$ wanita berurutan, dan kita juga dilarang memiliki $2$ wanita yang duduk bersebelahan sementara $1$ wanita lainnya terpisah.

Jika kita hanya mengurangkan kasus "$3$ Kumpul" dari total, kasus "$2$ Kumpul" masih tersisa di dalam hitungan. Akibatnya, cara komplemen sederhana ini meloloskan formasi yang sebenarnya melanggar aturan. Oleh karena itu, kita membutuhkan pendekatan langsung yang menjamin semua pot bunga benar-benar terpisah.

Metode Sisipan / Celah

Untuk menjamin objek tidak berdampingan, susun objek lain yang tidak bersyarat terlebih dahulu, lalu sisipkan objek bersyarat di celah-celahnya.

Jika ada batasan "tidak boleh berdampingan", strategi terbaik adalah menggunakan metode sisipan: lupakan sejenak objek yang terkena larangan. Kita susun terlebih dahulu objek yang bebas dari syarat, yaitu $6$ pohon peneduh (pria). Seperti yang sudah kita pelajari, $6$ pria yang duduk di meja bundar dapat disusun dalam:

$$(6 - 1)! = 5!\text{ cara}$$

Setelah $6$ pria duduk melingkar, perhatikan ruang kosong di antara mereka. Pada meja bundar, $6$ orang yang duduk melingkar akan menghasilkan tepat $6$ celah di antara mereka (berbeda dengan susunan baris lurus yang memiliki $6 + 1 = 7$ celah).

Agar pot bunga (wanita) tidak pernah saling bersentuhan, masing-masing dari $3$ wanita harus ditempatkan pada celah yang berbeda:

1. Wanita pertama dapat memilih salah satu dari $6$ celah yang tersedia.

2. Wanita kedua hanya dapat memilih dari $5$ celah yang tersisa.

3. Wanita ketiga dapat memilih dari $4$ celah yang tersisa.

Dengan demikian, banyaknya cara menyisipkan ketiga wanita ke dalam celah-celah tersebut adalah $6 \times 5 \times 4$ cara. Menggabungkan kedua tahap ini, total susunan yang memenuhi syarat $n(A)$ adalah:

$$n(A) = 5! \times 6 \times 5 \times 4$$