Partisi Blok Deret Geometri

Tembok Pangkat Raksasa

Menyelesaikan soal deret geometri berindeks sangat besar dengan mensubstitusi langsung ke rumus $S_n$ akan berujung pada pangkat eksponensial yang mustahil dihitung manual.

Ketika melihat indeks suku seperti $2021$, $4042$, dan $6063$ (pada soal tertulis typo $6036$, namun polanya adalah kelipatan $3 \times 2021$), godaan pertamanya adalah langsung memasukkan angka-angka ini ke dalam rumus baku jumlah deret:

$$S_n = \frac{u_1(r^n - 1)}{r - 1}$$

Jika nilai $S_{4042} = 25$ dan $S_{6063} = 105$ disubstitusikan mentah-mentah, kita akan berhadapan dengan eliminasi variabel yang memuat bentuk eksponen ribuan seperti $r^{4042}$ dan $r^{6063}$. Menyelesaikan sistem persamaan berpangkat sebesar ini secara manual jelas bukan jalur yang dirancang untuk ujian.

Dengan menyatukan ribuan suku menjadi gerbong-gerbong berukuran seragam, deret rumit ini dapat disederhanakan menjadi barisan dengan tiga nilai kelompok yang perilakunya jauh lebih mudah dianalisis.

Bukti Formal Barisan Blok

Kumpulan suku dari deret geometri asal, apabila dijumlahkan dalam kelompok ukuran sama besar berurutan, akan membentuk barisan geometri baru dengan rasio $R = r^n$.

Mari kita buktikan secara formal mengapa pengelompokan ini valid. Misalkan suatu deret geometri memiliki suku pertama $a_1$ dan rasio $r$. Kita kelompokkan suku-sukunya ke dalam blok suku yang masing-masing berisi $n$ suku berurutan:

$$\text{Blok 1} = S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

Sekarang, perhatikan jumlahan pada kelompok kedua, yaitu suku ke-$(n+1)$ sampai ke-$2n$:

$$\text{Blok 2} = a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}$$

Karena pada deret geometri berlaku hubungan $a_{n+k} = a_k \cdot r^n$, setiap suku di Blok 2 dapat kita faktorkan dengan mengeluarkan pengali $r^n$:

$$\begin{aligned} \text{Blok 2} &= a_1 r^n + a_2 r^n + \dots + a_n r^n \\ &= r^n \left(a_1 + a_2 + \dots + a_n\right) \\ &= r^n \cdot \text{Blok 1} \end{aligned}$$

Dengan cara penjabaran yang sama pada kelompok berikutnya:

$$\begin{aligned} \text{Blok 3} &= a_{2n+1} + a_{2n+2} + \dots + a_{3n} \\ &= r^{2n} \left(a_1 + a_2 + \dots + a_n\right) \\ &= r^n \cdot \text{Blok 2} \end{aligned}$$

Sifat kelipatan $r^n$ ini mematahkan dugaan seperti pada Opsi E yang mengira jumlahan suku mengecil drastis ke angka $1$ karena mengasumsikan suku awal selalu bernilai $1$ atau rasio blok bernilai sepele, tanpa menghitung faktor pengali eksponensial $r^n$ yang menghubungkan blok-blok tersebut.

Mengekstrak Blok Soal

Berdasarkan prinsip partisi geometri, persamaan untuk deret bersuku ribuan dapat disederhanakan dengan memisalkan blok pertama sebagai variabel $a$.

Kunci penting yang perlu diperhatikan: nilai akumulasi $S_{4042}$ dan $S_{6063}$ bukanlah suku tunggal dari barisan blok baru, melainkan jumlah kumulatif dari awal deret. Untuk mendapatkan nilai murni dari tiap blok, kita harus mencari selisihnya:

• Blok 1 (suku $1$ sampai $2021$):

  $$\text{Blok 1} = S_{2021} = a$$

• Blok 2 (suku $2022$ sampai $4042$):

  $$\text{Blok 2} = S_{4042} - S_{2021} = 25 - a$$

• Blok 3 (suku $4043$ sampai $6063$):

  $$\text{Blok 3} = S_{6063} - S_{4042} = 105 - 25 = 80$$

Karena ketiga blok ini membentuk barisan geometri baru, maka perbandingan antara dua blok yang bersebelahan (rasio blok) harus bernilai sama persis:

$$\frac{\text{Blok 2}}{\text{Blok 1}} = \frac{\text{Blok 3}}{\text{Blok 2}}$$

$$\frac{25 - a}{a} = \frac{80}{25 - a}$$