Peluang Berulang: Masuk, Masuk, Masuk, Meleset

Peluang Satu Skenario Spesifik

Peluang beberapa kejadian berurutan dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing kejadian tunggalnya.

Bayangkan atlet panahan tadi seperti seorang pemain basket yang sedang mengeksekusi $4$ kali lemparan bebas (free throw). Pada tiap lemparan, peluang bola masuk ring bernilai $p = \frac{2}{3}$. Karena hanya ada dua kemungkinan hasil pada setiap lemparan (masuk atau meleset), kita menggunakan konsep Peluang Komplemen: jika peluang bola masuk adalah $\frac{2}{3}$, maka peluang bola meleset adalah:

$$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

Sekarang, bayangkan satu skenario tertentu di mana bola masuk pada tiga lemparan pertama, lalu lemparan terakhir meleset (Masuk-Masuk-Masuk-Meleset).

Karena setiap tembakan merupakan Peluang Kejadian Bebas—artinya hasil tembakan sebelumnya sama sekali tidak memengaruhi lemparan berikutnya—kita cukup mengalikan nilai peluang masing-masing kejadian tersebut:

$$\text{Peluang}(M-M-M-G) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$$

Menghitung Variasi Urutan

Ada beberapa cara urutan yang berbeda untuk mendapatkan jumlah sukses yang sama dalam total percobaan.

Skenario Masuk-Masuk-Masuk-Meleset ($M-M-M-G$) yang menghasilkan angka $\frac{8}{81}$ tadi barulah satu cara agar pemain mencatatkan 3 kali lemparan masuk. Faktanya, satu tembakan meleset tersebut tidak harus terjadi di urutan terakhir—ia bisa saja terjadi di awal atau di tengah-tengah sesi latihan.

Jika kita daftarkan semua kemungkinan letak tembakan meleset ($G$) di antara tembakan masuk ($M$), terdapat $4$ variasi posisi yang berbeda:

Secara matematis, cara menyusun 3 kesuksesan dari total 4 kesempatan ini dihitung menggunakan konsep Kombinasi:

$$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \text{ susunan}$$

Masing-masing dari 4 susunan ini punya peluang kemunculan yang sama persis, yaitu $\frac{8}{81}$.

Menyatukan Peluang Total

Peluang total suatu distribusi kejadian berulang adalah hasil kali banyak kombinasi urutan dengan peluang satu urutan spesifik.

Kita sudah menemukan dua komponen utamanya:

1. Peluang untuk setiap satu pola urutan spesifik adalah $\frac{8}{81}$.

2. Ada $4$ variasi urutan berbeda yang sama-sama menghasilkan 3 kali bidikan tepat sasaran.

Karena keempat urutan tersebut saling lepas (tidak mungkin terjadi bersamaan dalam satu sesi), kita menjumlahkan seluruh peluang urutan tersebut, atau cukup mengalikan banyak susunan dengan peluang satu urutan:

$$P(\text{tepat } 3 \text{ sukses}) = 4 \times \frac{8}{81} = \frac{32}{81}$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi D adalah jawaban yang tepat.