Membongkar Keterbagian Eksponen

Memecah Pangkat

Eksponen dengan penjumlahan di pangkat dapat dipecah menjadi perkalian dua bilangan dengan basis yang sama.

Diagram pembagian balok eksponen 5 pangkat n+2 menjadi perkalian 5 pangkat n dan 5 kuadrat atau 25 kotak.

Sifat dasar eksponen menyatakan bahwa perkalian bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan penjumlahan pangkatnya:

$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$

Pada soal, kita berhadapan dengan suku $5^{n+2}$. Dengan membalik aturan tersebut, bentuk penjumlahan pada pangkat dapat kita uraikan menjadi:

$$5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$$

Dengan memisahkan pangkatnya seperti ini, suku yang terlihat rumit berubah menjadi perkalian sederhana antara bilangan konstan dan satu kantong eksponen.

Sifat Distributif

Suku yang memiliki pengali yang sama dapat dikelompokkan menggunakan sifat distributif, berapapun rumitnya bentuk pengali tersebut.

Ingat kembali aljabar dasar saat mengelompokkan variabel yang sejenis. Jika kita punya $25x - x$, kita bisa mengeluarkan faktor $x$ menggunakan sifat distributif:

$$25x - 1x = x(25 - 1) = 24x$$

Sekarang, bawa kembali konsep ini ke analogi kantong misteri. Jika kamu memiliki 25 kantong misteri, lalu diambil $1$ kantong, tentu sisanya adalah 24 kantong misteri.

Jika variabel $x$ kita kembalikan menjadi bentuk eksponen $5^n$, prinsipnya tetap persis sama:

$$25 \cdot 5^n - 1 \cdot 5^n = 5^n(25 - 1)$$

Bentuk sederhana dari ekspresi perpangkatan $3^{k+2} - 3^k$ adalah ....

  • $6 \cdot 3^k$
  • $8 \cdot 3^k$
  • $9 \cdot 3^k$
  • $3^2$

Jawaban: $8 \cdot 3^k$

Bentuk $3^{k+2} - 3^k$ dipecah menjadi $3^k \cdot 3^2 - 3^k \cdot 1 = 3^k(9 - 1) = 8 \cdot 3^k$. Opsi A salah karena mengurangkan dengan 3 ($9 - 3$), opsi C salah karena menganggap suku kedua menjadi 0, dan opsi D salah karena hanya mengurangkan eksponennya saja.

Memfaktorkan ekspresi aljabar dengan suku yang sama

Mengeksekusi Aljabar

Penyelesaian aljabar formal membutuhkan penulisan yang runut baris demi baris untuk menghindari kesalahan hitung.

Mari kita tuliskan langkah formal penyederhanaan ekspresi awal $5^{n+2} - 5^n$ secara bertahap:

$$\begin{aligned} 5^{n+2} - 5^n &= 5^n \cdot 5^2 - 5^n \cdot 1 && \text{(Pecah pangkat dan munculkan pengali 1)} \\ &= 5^n(5^2 - 1) && \text{(Faktorkan keluar } 5^n \text{ dengan sifat distributif)} \\ &= 5^n(25 - 1) && \text{(Hitung nilai eksponen konstan } 5^2 = 25) \\ &= 24 \cdot 5^n && \text{(Sederhanakan bentuk akhir)} \end{aligned}$$

Setiap baris aljabar di atas memperlihatkan perubahan bentuk tanpa mengubah nilai aslinya sedikit pun.