Rotasi & Translasi via Analisis Matriks

Asal-usul Rumus Rotasi 90°

Waktu ngerjain soal transformasi, sering banget kita ngapalin rumus rotasi $90^\circ$ yang berlawanan arah jarum jam itu $(x, y) \rightarrow (-y, x)$. Tapi kamu pernah mikir gak sih, dari mana datangnya tanda minus dan kenapa posisinya ditukar?

Ternyata, rumus itu gak perlu kamu hafal buta! Di balik layar, rotasi dengan pusat $(0,0)$ sejauh $\theta$ punya "mesin" utama berupa matriks transformasi umum, yaitu: Baris pertama: $[\cos \theta, -\sin \theta]$ Baris kedua: $[\sin \theta, \cos \theta]$

Nah, sekarang kalau kita masukkan angka-angka tadi ke dalam matriks: Baris pertama jadi $[0, -1]$ Baris kedua jadi $[1, 0]$

Saat matriks yang isinya cuma 1, 0, dan -1 ini "bertemu" (dikalikan) dengan posisi awal titik $\begin{pmatrix} x y \end{pmatrix}$, terjadilah proses aljabar. Untuk nilai $x$ baru, kita kalikan baris pertama dengan kolom titik: $(0 \times x) + (-1 \times y) = -y$. Lalu untuk nilai $y$ baru, kalikan baris kedua dengan kolom yang sama: $(1 \times x) + (0 \times y) = x$. Tuh kan, langsung terbukti menghasilkan $\begin{pmatrix} -y x \end{pmatrix}$ secara alami!

Kenapa aturan rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam bisa secara konsisten menghasilkan format koordinat baru $(-y, x)$?

  • A. Karena nilai $\cos(90^\circ) = 0$ dan $\sin(90^\circ) = 1$ pada matriks rotasi umum
  • B. Karena nilai $\cos(90^\circ) = 1$ dan $\sin(90^\circ) = 0$ pada matriks rotasi umum
  • C. Karena perputaran $90^\circ$ selalu membalikkan semua tanda titik koordinat
  • D. Karena rumus translasi mewajibkan pertukaran posisi x dan y

Jawaban: A. Karena nilai $\cos(90^\circ) = 0$ dan $\sin(90^\circ) = 1$ pada matriks rotasi umum

Aturan $(-y, x)$ adalah hasil alami dari perkalian vektor kolom titik dengan matriks rotasi setelah disubstitusi nilai $\cos(90^\circ) = 0$ dan $\sin(90^\circ) = 1$.

Aturan (-y, x) didapatkan dengan mensubstitusikan sudut 90 derajat pada matriks rotasi umum.

Mengeksekusi Rotasi Titik $A$

Setelah kita punya alat berupa matriks $[0, -1; 1, 0]$ tadi, mari kita pakai langsung pada soal yang sebenarnya. Lewat cara ini, kamu gak perlu lagi nebak-nebak posisi bayangan ada di kuadran mana, karena perhitungan aljabarnya otomatis mengurus semuanya, termasuk tanda positif negatifnya!

Langkah pertama, coba baca grafik pada soal awal. Posisi titik $A$ berada mendatar di $x = -2$ dan naik ke atas di $y = 4$. Jadi, koordinat kita tulis dalam bentuk vektor kolom: $\begin{pmatrix} -2 4 \end{pmatrix}$.

Maka, kamu dapat bayangan pertamanya, yaitu $A'(-4, -2)$. Angka dan tandanya diurus tuntas tanpa ragu!

Saat kamu mengalikan matriks rotasi $90^\circ$ dengan vektor $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$, dari proses mana nilai koordinat x yang baru (yaitu $-4$) dihasilkan?

  • A. $0$ dikali $-2$, lalu ditambah $-1$ dikali $4$
  • B. $0$ dikali $4$, lalu ditambah $-1$ dikali $-2$
  • C. $-1$ dikali $-2$, lalu ditambah $0$ dikali $4$
  • D. $1$ dikali $-2$, lalu ditambah $0$ dikali $4$

Jawaban: A. $0$ dikali $-2$, lalu ditambah $-1$ dikali $4$

Berdasarkan aturan baris kali kolom, baris atas $(0, -1)$ dikalikan lurus ke elemen kolom $(-2, 4)$, menghasilkan $(0 \times -2) + (-1 \times 4)$.

Perkalian matriks dengan titik menggunakan aturan elemen pada baris dikalikan berurutan dengan elemen pada kolom.

Translasi sebagai Penjumlahan

Sekarang, lanjut ke tahap kedua dari pergerakan titik tadi, yakni ditranslasi sebesar $T = \begin{pmatrix} 3 -2 \end{pmatrix}$.

Berbeda jauh dengan rotasi yang memaksa kita menggunakan operasi perkalian matriks, translasi itu lebih simpel sifatnya. Secara formal, translasi hanyalah operasi penjumlahan vektor biasa. Gampangnya: Titik Akhir = Titik Saat Ini + Vektor Geser.

Mari ambil hasil bayangan titik $A'$ sebelumnya yaitu $\begin{pmatrix} -4 -2 \end{pmatrix}$. Kalau kita jumlahkan langsung elemen-elemennya atas-dengan-atas dan bawah-dengan-bawah:

Boom! Didapatkan posisi pamungkas dari titik ini, yaitu $A''(-1, -4)$.

Berdasarkan langkah transformasi yang telah kita lakukan, apa perbedaan mendasar antara rotasi dan translasi saat ditulis dalam operasi aljabar?

  • A. Translasi dilakukan dengan penjumlahan vektor antar titik, sedangkan rotasi memakai perkalian matriks.
  • B. Translasi memakai perkalian matriks yang unik, sedangkan rotasi dilakukan dengan pembagian titik.
  • C. Keduanya sama-sama memakai operasi perkalian skalar untuk pindah posisi.
  • D. Translasi merupakan perkalian vektor horizontal, dan rotasi tegak lurus.

Jawaban: A. Translasi dilakukan dengan penjumlahan vektor antar titik, sedangkan rotasi memakai perkalian matriks.

Dalam ruang 2D, translasi adalah menggeser posisi dengan cara menambahkan nilai tertentu ke koordinat x dan y (penjumlahan vektor). Sedangkan rotasi melibatkan komponen trigonometri dan beroperasi melalui perkalian matriks transformasi.

Translasi secara aljabar direpresentasikan sebagai penjumlahan vektor sederhana.