Menjembatani Aritmetika dan Geometri

Sifat Tersembunyi Nilai Tengah

Jumlah tiga suku berurutan dari barisan aritmetika selalu sama dengan tiga kali nilai suku tengahnya.

Dalam barisan aritmetika, kita melangkah dengan rute langkah tetap, yaitu selisih konstan yang disebut beda ($b$). Ketika berhadapan dengan tiga bilangan berurutan $x, y, z$, kita tidak perlu menebak variabel satu per satu. Kunci termudahnya adalah memusatkan pandangan pada suku tengah $y$:

• Suku pertama: $x = y - b$

• Suku kedua: $y$

• Suku ketiga: $z = y + b$

Perhatikan apa yang terjadi saat kita menjumlahkan ketiganya:

$$(y - b) + y + (y + b) = 3y$$

Komponen $-b$ dan $+b$ saling meniadakan secara sempurna. Karena soal menetapkan bahwa jumlah ketiga bilangan tersebut bernilai $18$, persamaan langsung terselesaikan:

$$3y = 18 \implies y = 6$$

Nilai suku tengah langsung terkunci di angka $6$ tanpa perlu mengetahui nilai suku lainnya terlebih dahulu. Langkah ini membuktikan secara langsung bahwa Opsi B benar.

Jembatan Menuju Geometri

Syarat barisan geometri adalah perbandingan suku berdekatan yang konsisten, yang menghasilkan hubungan perkalian silang antar suku.

Dari hasil sebelumnya, nilai tengah $y = 6$ sudah terkunci. Bentuk suku-suku barisan aritmetika awal kita menjadi $x = 6 - b$, $y = 6$, dan $z = 6 + b$. Selanjutnya, soal memberikan modifikasi: suku ketiga ditambah dengan bilangan $8$ sehingga rute berubah menjadi barisan geometri.

Ketiga suku baru tersebut kini tersusun sebagai:

• Suku pertama ($U_1$): $6 - b$

• Suku kedua ($U_2$): $6$

• Suku ketiga ($U_3$): $(6 + b) + 8 = 14 + b$

Pada barisan geometri, bilangan berpindah mengikuti rute lompatan ganda dengan faktor pengali tetap yang disebut rasio ($r$). Artinya, perbandingan suku kedua terhadap suku pertama harus sama persis dengan perbandingan suku ketiga terhadap suku kedua:

$$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \implies \frac{6}{6 - b} = \frac{14 + b}{6}$$

Melalui perkalian silang untuk menyingkirkan bentuk pecahan, kita mendapatkan jembatan aljabar yang menghubungkan kedua jenis barisan:

$$6 \times 6 = (6 - b)(14 + b)$$

Hubungan perkalian ini menjadi pijakan utama untuk membongkar nilai beda ($b$).

Mengeksekusi Persamaan Kuadrat

Persamaan dari kesamaan rasio akan membentuk persamaan kuadrat, yang menghasilkan kandidat nilai beda ($b$).

Mari kita bedah jembatan aljabar yang didapatkan sebelumnya secara bertahap:

$$36 = (6 - b)(14 + b)$$

Kita lakukan perkalian distributif pada ruas kanan:

$$36 = 6(14 + b) - b(14 + b)$$

$$36 = 84 + 6b - 14b - b^2$$

$$36 = 84 - 8b - b^2$$

Pindahkan seluruh suku di ruas kanan ke ruas kiri agar menghasilkan bentuk persamaan kuadrat sama dengan nol:

$$b^2 + 8b + 36 - 84 = 0$$

$$b^2 + 8b - 48 = 0$$

Faktorkan persamaan tersebut dengan mencari dua bilangan yang apabila dikalikan bernilai $-48$ dan jika dijumlahkan bernilai $8$. Pasangan yang memenuhi adalah $12$ dan $-4$:

$$(b + 12)(b - 4) = 0$$

Dari pemfaktoran ini, kita memperoleh dua kandidat: $b = -12$ atau $b = 4$.

Kepastian nilai beda ini mengonfirmasi bahwa Opsi C benar.