Misteri Akar Kuadrat dan Nilai Mutlak

Melipat Menjadi Kuadrat Sempurna

Polinomial bentuk tiga suku yang ujung-ujungnya merupakan bilangan kuadrat dapat disederhanakan menjadi Kuadrat Sempurna binomial.

Untuk mengenali apakah suatu bentuk $ax^2 + bx + c$ merupakan Kuadrat Sempurna, periksa kedua ujungnya terlebih dahulu:

  1. Suku pertama: apakah merupakan kuadrat dari suatu bentuk, misalnya $(A)^2$?

  2. Suku terakhir: apakah merupakan kuadrat dari suatu bilangan, misalnya $(B)^2$?

  3. Suku tengah: apakah tepat bernilai $\pm 2AB$?

Mari kita periksa ekspresi pertama pada soal: $9x^2 - 6x + 1$. Suku pertama $9x^2$ adalah kuadrat dari $3x$, dan suku terakhir $1$ adalah kuadrat dari $1$. Uji suku tengahnya: $2 \times (3x) \times 1 = 6x$. Karena tanda suku tengahnya negatif, bentuk ini melipat sempurna menjadi:

$$9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$$

Langkah yang sama berlaku untuk ekspresi kedua: $9x^2 - 30x + 25$. Suku pertama adalah $(3x)^2$ dan suku terakhir adalah $5^2$. Suku tengahnya adalah $2 \times (3x) \times 5 = 30x$. Maka, bentuk ini melipat menjadi:

$$9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2$$

Bentuk kuadrat sempurna dari $4x^2 - 12x + 9$ adalah ....

  • $(2x + 3)^2$
  • $(4x - 3)^2$
  • $(2x - 3)^2$
  • $(2x - 9)^2$

Jawaban: $(2x - 3)^2$

Suku pertama $4x^2 = (2x)^2$, suku terakhir $9 = 3^2$, dan suku tengahnya bernilai $-2(2x)(3) = -12x$. Karena suku tengah negatif, bentuk kuadrat sempurnanya adalah $(2x - 3)^2$. Opsi A salah tanda, opsi B tidak mengakarkan koefisien $4$, dan opsi D tidak mengakarkan angka $9$.

Memfaktorkan ekspresi kuadrat menjadi bentuk binomial kuadrat.

Jebakan Akar dan Kuadrat

Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan yang dikuadratkan selalu bernilai non-negatif, sehingga secara matematis ditulis setara dengan nilai mutlaknya.

Sering kali muncul dorongan untuk langsung 'mencoret' simbol akar dengan pangkat dua: seolah-olah $\sqrt{A^2} = A$. Namun, aturan ini runtuh ketika $A$ bernilai negatif. Bayangkan bilangan $-4$: jika dikuadratkan, $(-4)^2 = 16$. Saat ditarik akar kuadrat utama, $\sqrt{16} = 4$, bukan $-4$. Operasi kuadrat terlebih dahulu melenyapkan tanda minus, dan akar kuadrat utama hanya menghasilkan nilai non-negatif.

Secara formal, akar kuadrat bekerja seperti mesin pendeteksi jarak dari nol (Nilai Mutlak):

$$\sqrt{A^2} = |A|$$

Melalui visualisasi di atas, terlihat jelas bahwa pada area $x < 0$, fungsi $y = \sqrt{x^2}$ memantul ke atas membentuk huruf V yang identik dengan $|x|$, berbeda dari garis lurus $y = x$.

Oleh karena itu, bentuk aljabar pada soal tidak boleh langsung dibuka tanpa kurung mutlak:

$$\sqrt{9x^2 - 6x + 1} - \sqrt{9x^2 - 30x + 25} = \sqrt{(3x - 1)^2} - \sqrt{(3x - 5)^2} = |3x - 1| - |3x - 5|$$

Tentukan kebenaran dari klaim mengenai fungsi akar kuadrat berikut:

  • Akar dari kuadrat bilangan negatif akan menghasilkan bilangan negatif awal. — Salah
  • Identitas formal dari akar $x$ kuadrat adalah nilai mutlak $x$. — Benar

Pernyataan 1 Salah karena pengkuadratan bilangan negatif menghasilkan nilai positif, sehingga akar kuadrat utamanya selalu menghasilkan nilai non-negatif (contoh: $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$). Pernyataan 2 Benar karena identitas formal $\sqrt{x^2} = |x|$ memastikan hasilnya mewakili jarak dari nol yang selalu non-negatif.

Sifat non-negatif dari akar suatu ekspresi yang dikuadratkan.

Membaca Tanda dengan Interval

Batasan Interval menentukan apakah ekspresi di dalam Nilai Mutlak bernilai positif (sehingga tandanya tetap) atau negatif (sehingga tandanya dibalik).

Untuk membuka tanda mutlak pada ekspresi $|3x - 1| - |3x - 5|$, kita harus memeriksa tanda aljabar dari masing-masing suku di dalam batasan Interval yang diberikan, yaitu $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{3}$.

Mari kita bedah kedua batas tersebut secara aljabar:

  1. Memeriksa suku $|3x - 1|$ dengan batas bawah: Ambil pertidaksamaan batas bawah:

    $$x > \frac{1}{3}$$

    Kalikan kedua sisi dengan $3$:

    $$3x > 1$$

    Kurangkan $1$ dari kedua sisi:

    $$3x - 1 > 0$$

    Karena $3x - 1$ bernilai positif di seluruh interval tersebut, nilai mutlaknya tidak mengubah apa pun:

    $$|3x - 1| = 3x - 1$$

  2. Memeriksa suku $|3x - 5|$ dengan batas atas: Ambil pertidaksamaan batas atas:

    $$x < \frac{5}{3}$$

    Kalikan kedua sisi dengan $3$:

    $$3x < 5$$

    Kurangkan $5$ dari kedua sisi:

    $$3x - 5 < 0$$

    Karena $3x - 5$ bernilai negatif, mesin nilai mutlak membalik tandanya agar hasilnya tetap positif:

    $$|3x - 5| = -(3x - 5) = 5 - 3x$$