Kecukupan Data Matriks: Main Bukti

Target Kombinasi Koper

Mencari nilai determinan matriks invers cukup dilakukan dengan membalik nilai determinan matriks asalnya.

Bayangkan mencari determinan matriks ini seperti mencari kombinasi angka untuk membuka sebuah koper. Kita tidak perlu membongkar seluruh isi koper dan membongkar susunan mekanismenya (menghitung matriks invers $B^{-1}$ yang rumit). Kita cukup menemukan angka kombinasi dari luar, yaitu nilai determinan matriks asalnya, $\det(B)$.

Berdasarkan elemen matriks $B = \begin{pmatrix} 3 & x+1 \\ y & 12 \end{pmatrix}$, determinannya dirumuskan sebagai:

$$\det(B) = (3)(12) - (x+1)y = 36 - (x+1)y$$

Dalam soal Kecukupan Data, tujuan kita bukan sekadar menghitung sembarang angka, melainkan memastikan apakah informasi yang diberikan mampu menghasilkan satu nilai tunggal yang pasti. Jika nilai kelompok $(x+1)y$ dapat ditentukan secara unik, maka $\det(B)$ dan $\det(B^{-1})$ terjawab dengan pasti. Namun, jika nilainya masih bercabang menjadi banyak kemungkinan, informasi tersebut belum cukup.

Petunjuk dari Saksi Pertama

Syarat transpose matriks simetris menyamakan elemen yang posisinya berseberangan, namun satu persamaan dengan dua variabel tidak menghasilkan solusi tunggal.

Pernyataan (1) menyebutkan bahwa $B = B^T$. Operasi transpose matriks dilakukan dengan menukar baris menjadi kolom. Jika matriks asal adalah $B = \begin{pmatrix} 3 & x+1 \\ y & 12 \end{pmatrix}$, maka transpose matriksnya adalah:

$$B^T = \begin{pmatrix} 3 & y \\ x+1 & 12 \end{pmatrix}$$

Ketika $B = B^T$, elemen-elemen seletaknya harus sama persis:

$$\begin{pmatrix} 3 & x+1 \\ y & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & y \\ x+1 & 12 \end{pmatrix} \implies x + 1 = y \iff y - x = 1$$

Persamaan $y - x = 1$ ini seperti petunjuk dari saksi pertama yang hanya mengingat bahwa selisih kedua angka kode adalah 1. Ada tak hingga banyak pasangan $(x, y)$ yang memenuhi persamaan ini:

• Jika $(x, y) = (1, 2)$, maka nilai target $(x+1)y = (1+1)(2) = 4$.

• Jika $(x, y) = (2, 3)$, maka nilai target $(x+1)y = (2+1)(3) = 9$.

Dua Saksi, Satu Kepastian

Dua persamaan linear yang independen jika digabungkan akan mengerucut pada satu titik solusi pasti yang menjawab pertanyaan kecukupan data.

Mari uji Pernyataan (2) secara terpisah: $x + y = 7$. Saksi kedua ini hanya mengingat bahwa jumlah kedua angka kode adalah 7. Persamaan ini pun memiliki tak hingga kemungkinan pasangan $(x, y)$:

• Jika $(x, y) = (1, 6)$, maka nilai target $(x+1)y = (1+1)(6) = 12$.

• Jika $(x, y) = (2, 5)$, maka nilai target $(x+1)y = (2+1)(5) = 15$.

Karena menghasilkan nilai determinan yang berubah-ubah, Pernyataan (2) SAJA tidak cukup. Miskonsepsi pada Opsi B muncul jika kita mengira jumlah dua variabel otomatis mengunci nilai perkalian targetnya.

Apa yang terjadi jika kesaksian kedua saksi digabungkan? Kita memiliki dua persamaan linear:

$$\begin{aligned} y - x &= 1 \\ y + x &= 7 \end{aligned}$$

Dengan menjumlahkan kedua persamaan (metode eliminasi):

$$2y = 8 \implies y = 4$$

Substitusikan ke persamaan kedua:

$$x + 4 = 7 \implies x = 3$$

Kini kita memperoleh tepat satu pasang solusi unik: $x = 3$ dan $y = 4$.

$$\begin{aligned} (x+1)y &= (3+1)(4) = 16 \\ \det(B) &= 36 - 16 = 20 \\ \det(B^{-1}) &= \frac{1}{20} \end{aligned}$$