Transformasi Data: Geseran dan Renggangan

Bonus Nilai: Rata-Rata Bergeser

Menambahkan angka yang sama pada sekumpulan data akan mengubah nilai rata-ratanya sebesar angka tersebut, tapi tidak mengubah standar deviasi.

Bayangkan seorang guru memberikan bonus $5$ poin ulangan untuk setiap murid di kelas. Jika rata-rata awal kelas adalah $25$, penambahan ini otomatis mendongkrak rata-rata baru tepat sebesar bonus tersebut, yaitu menjadi $25 + 5 = 30$.

Lalu, apa yang terjadi dengan selisih atau kesenjangan nilai antarmurid? Umpamakan Alice awalnya memperoleh nilai $20$ dan Bob mendapat nilai $30$ (selisih mereka $10$ poin). Setelah masing-masing ditambah bonus $5$ poin, nilai Alice menjadi $25$ dan nilai Bob menjadi $35$. Selisih jarak di antara keduanya tetap persis $10$ poin! Karena posisi antardata hanya bergeser bersama tanpa merenggang atau merapat, ukuran penyebaran seperti standar deviasi tidak mengalami perubahan sama sekali dan tetap bernilai $3$.

Mengali Skala: Semua Ikut Renggang

Mengalikan setiap unsur pada himpunan data memperbesar rata-rata sekaligus melipatgandakan sebaran jarak antardatanya.

Bagaimana jika guru tidak memberikan tambahan poin, melainkan melipatgandakan nilai setiap murid dengan bobot $2$? Secara langsung, nilai pusat atau rata-rata kelas akan melonjak dua kali lipat mengikuti pengali tersebut.

Namun, perhatikan perubahan pada jarak antarmurid. Alice yang mulanya memperoleh nilai $20$ kini nilainya menjadi $40$, sementara Bob yang asalnya bernilai $30$ kini melejit menjadi $60$. Selisih nilai mereka yang awalnya hanya berjarak $10$ poin, kini ikut membengkak dua kali lipat menjadi $20$ poin! Seluruh sebaran data meregang menjauh layaknya karet gelang yang ditarik. Oleh karena itu, ukuran simpangan seperti standar deviasi juga wajib dikalikan dengan faktor pengali tersebut.

Pada soal, nilai awal standar deviasi adalah $3$. Saat setiap data suhu dikalikan $2$, standar deviasi yang baru ikut dilipatgandakan menjadi $2 \times 3 = 6$. Fakta inilah yang membuktikan bahwa Opsi B bernilai benar.

Berapa Persen Sebarannya?

Koefisien variasi merangkum seberapa timpang standar deviasi saat dibandingkan dengan ukuran rata-ratanya sendiri lewat satuan persentase.

Simpangan sebesar $3$ poin akan terasa sangat lebar jika nilai rata-rata ulangan kelas hanya menyentuh angka $10$. Sebaliknya, simpangan $3$ poin tersebut menjadi relatif kecil dan hampir tidak terasa jika rata-rata nilai kelas mencapai $1.000$. Oleh karena itu, kita membutuhkan ukuran penyebaran relatif tanpa satuan yang disebut Koefisien Variasi ($KV$).

Rumus untuk menghitung Koefisien Variasi membandingkan simpangan terhadap pusatnya:

$$KV = \frac{\text{Standar Deviasi}}{\text{Rata-rata}} \times 100\% = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%$$

Dengan data suhu pada soal yang memiliki standar deviasi $\sigma = 3$ dan rata-rata $\bar{x} = 25$, persentase sebaran relatifnya adalah:

$$KV = \frac{3}{25} \times 100\% = 12\%$$

Perhitungan ini menegaskan bahwa pernyataan pada Opsi A bernilai benar.