Menjinakkan Deret Pecahan dan Akar Desimal

Trik Akar Desimal

Mengubah bilangan desimal menjadi pecahan biasa mempermudah perhitungan akar pangkat tiga.

Sangat wajar jika kamu merasa ragu saat berhadapan langsung dengan akar dari bilangan berkoma seperti $\sqrt[3]{0,216}$. Kuncinya adalah mengubah pecahan desimal tersebut menjadi pecahan biasa terlebih dahulu: karena ada tiga angka di belakang koma, nilai tersebut setara dengan per seribu, yaitu $\frac{216}{1.000}$.

Dengan memanfaatkan sifat distributif akar pada pecahan, kamu cukup menarik akar pangkat tiga untuk pembilang dan penyebut secara terpisah:

$$\sqrt[3]{\frac{216}{1.000}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{1.000}} = \frac{6}{10}$$

Menyelesaikan Bagian Kanan

Bentuk selisih dua kuadrat memudahkan perhitungan penyebut tanpa perlu memangkatkan bilangan besar.

Alih-alih menghitung $51,8^2$ dan $48,2^2$ secara manual yang memakan waktu, manfaatkan identitas aljabar selisih kuadrat:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Terapkan langsung pada penyebut soal dengan menetapkan $a = 51,8$ dan $b = 48,2$:

Hitung kedua kurung tersebut:

• Bagian pengurangan: $51,8 - 48,2 = 3,6$

• Bagian penjumlahan: $51,8 + 48,2 = 100$

Kalikan kedua faktor tersebut: $3,6 \times 100 = 360$.

Sekarang, gabungkan pembilang yang sudah didapat dari halaman sebelumnya ($\frac{6}{10}$) dengan penyebut ini ($360$):

$$\frac{\sqrt[3]{0,216}}{51,8^2 - 48,2^2} = \frac{\frac{6}{10}}{360} = \frac{6}{3.600} = \frac{1}{600}$$

Deret Pecahan Beruntun

Menyatukan suku di dalam kurung menjadi pecahan tunggal akan memperlihatkan pola pembatalan.

Saat melihat barisan perkalian panjang seperti $\left(1-\frac{1}{61}\right)\left(1+\frac{1}{62}\right)\left(1-\frac{1}{63}\right)\left(1+\frac{1}{64}\right)\left(1-\frac{1}{65}\right)$, jangan terburu-buru mengalikan kurung demi kurung. Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan di dalam masing-masing kurung terlebih dahulu:

• $\left(1 - \frac{1}{61}\right) = \frac{60}{61}$

• $\left(1 + \frac{1}{62}\right) = \frac{63}{62}$

• $\left(1 - \frac{1}{63}\right) = \frac{62}{63}$

• $\left(1 + \frac{1}{64}\right) = \frac{65}{64}$

• $\left(1 - \frac{1}{65}\right) = \frac{64}{65}$

Tuliskan kelima pecahan tersebut dalam satu deret perkalian:

$$\frac{60}{61} \times \frac{63}{62} \times \frac{62}{63} \times \frac{65}{64} \times \frac{64}{65}$$

Seperti deretan kartu dalam efek domino, suku-suku yang bersebelahan saling meniadakan secara berantai. Pembilang dan penyebut yang bernilai sama saling membagi dan menghasilkan nilai $1$:

• $\frac{63}{62} \times \frac{62}{63} = 1$

• $\frac{65}{64} \times \frac{64}{65} = 1$

Melalui proses pencoretan beruntun ini, seluruh pasangan di tengah gugur dan hanya menyisakan suku di ujung awal, yaitu $\frac{60}{61}$.