Akar Horner dan Volume Balok

Balok dalam Bahasa Aljabar

Luas alas balok bisa dicari dengan membagi volume total dengan tingginya, meskipun ukurannya berupa polinomial.

Diagram 3D balok transparan menunjukkan hubungan volume, tinggi, dan luas alas

Secara geometri, rumus volume balok adalah:

$$\text{Volume} = \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}$$

Ibarat kue balok lapis, luas alas adalah ukuran dari satu lapisan dasar di bagian bawah, sedangkan tinggi balok menunjukkan berapa banyak lapisan tersebut ditumpuk ke atas. Jika kita sudah tahu ukuran seluruh kue dan berapa tumpukan tingginya, kita cukup membagi total volume dengan tingginya untuk mengetahui luas dari satu lapisan dasar tersebut:

$$\text{Luas Alas} = \frac{\text{Volume}}{\text{Tinggi}}$$

Dalam soal ini, ukuran balok dinyatakan dalam ekspresi aljabar suku banyak (polinomial). Volume balok adalah $V(x) = x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ dan tingginya adalah $t(x) = x - 2$. Artinya, mencari luas alas $L(x)$ berarti melakukan pembagian aljabar antara dua polinomial tersebut:

$$L(x) = \frac{x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2}$$

Kenapa Sisanya Harus Nol?

Pembagian polinomial yang melambangkan dimensi bangun ruang utuh pasti menghasilkan sisa nol.

Bayangkan kamu menyusun balok mainan kayu padat yang utuh ke dalam sebuah wadah balok. Jika ukuran wadah dan tinggi balok tersebut memang saling melengkapi membentuk bangun ruang yang sempurna, tidak mungkin ada bagian balok yang terpotong ganjil atau meluber keluar tanpa pasangan.

Karena kotak pada soal adalah balok utuh yang nyata, maka tinggi $t(x) = x - 2$ pasti membagi habis ekspresi volume $V(x) = x^3 + 5x^2 - 2x - 24$. Dalam konsep suku banyak, prinsip ini dijelaskan oleh Teorema Faktor: jika suatu pembagi menghasilkan sisa pembagian sama dengan nol, maka pembagi tersebut merupakan faktor murni dari polinomial yang dibagi.

Mengetahui fakta ini memberi kita alat pemeriksa mandiri: sebelum mulai membagi, kita sudah tahu bahwa sisa di akhir perhitungan wajib bernilai $0$. Jika ternyata tersisa angka selain nol, itu adalah sinyal bahwa ada kekeliruan hitung di langkah kita.

Sebuah kotak penyimpanan utuh memiliki volume total V(x) dan lebar l(x). Jika ekspresi V(x) dibagi dengan l(x), berapakah sisa pembagiannya?

  • Sisanya bergantung pada nilai x yang disubstitusikan.
  • Sisanya pasti nol.
  • Sisanya adalah ukuran panjang alas kotak.
  • Sisanya selalu bernilai negatif.

Jawaban: Sisanya pasti nol.

Lebar kotak merupakan faktor pembentuk dari volume kotak yang utuh sempurna. Berdasarkan Teorema Faktor, membagi ekspresi volume total dengan salah satu faktor dimensinya pasti menghasilkan sisa pembagian sama dengan 0. Pilihan A salah karena untuk balok utuh pembagian aljabarnya habis terbagi secara identik; Pilihan C salah karena dimensi lain adalah hasil baginya, bukan sisa; Pilihan D salah karena sisa tidak bernilai negatif melainkan tepat nol.

Pembagian dimensi pembentuk bangun ruang utuh pasti menghasilkan sisa nol.

Porogapit: Angka vs Polinomial

Membagi polinomial pada dasarnya sama persis dengan membagi angka memakai porogapit bersusun di SD.

Perbandingan berdampingan porogapit aritmetika angka dan porogapit suku banyak polinomial

Saat membagi bilangan bulat seperti $152$ dengan $12$ menggunakan porogapit, kita memprosesnya dari nilai tempat terbesar (ratusan) ke nilai tempat yang lebih kecil. Bentuk $152$ sebenarnya adalah $1\text{(ratusan)} + 5\text{(puluhan)} + 2\text{(satuan)}$.

Ekspresi polinomial bekerja dengan logika nilai tempat yang persis sama, hanya saja nilai tempatnya berupa variabel berpangkat: suku $x^3$, suku $x^2$, suku $x$, lalu konstanta.

Langkah dasar porogapit polinomial:

  1. Bagi suku berpangkat tertinggi di dalam kurung kurawal ($x^3$) dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi ($x$). Hasilnya adalah $x^2$.

  2. Kalikan hasil tersebut ($x^2$) ke seluruh pembagi $(x - 2)$, sehingga didapat $x^3 - 2x^2$.

  3. Kurangkan ke bawah! Ingat, operasinya adalah pengurangan, sehingga $5x^2 - (-2x^2) = 7x^2$.