Trik Menjumlahkan Deret Bilangan: Saling Meniadakan

Misteri Titik-Titik di Tengah

Tanda elipsis ($...$) menyembunyikan bilangan berurutan untuk menyingkat penulisan.

Pernahkah kamu melihat deret angka yang di tengah-tengahnya ada tiga titik, seperti $-10 + (-9) + (-8) + ... + 10 + 11 + 12$? Dalam notasi matematika, tiga titik tersebut dinamakan elipsis. Simbol ini bukan sekadar pemisah atau tanda jeda kosong, melainkan cara singkat untuk mengatakan: "dan seterusnya mengikuti pola yang sama tanpa perlu ditulis satu per satu".

Bayangkan jika kita harus menulis semua bilangan bulat dari $-10$ sampai $12$ di atas kertas: tangan kita tentu akan lelah menuliskan $-7, -6, -5$ hingga $9$. Penulis soal memanfaatkan elipsis agar soal tetap ringkas dan nyaman dibaca.

Cobalah menggeser slider pada visual interaktif di atas untuk membuka tirai elipsis. Kamu akan melihat bahwa di antara $-8$ dan $10$, tersimpan deretan bilangan utuh:

$$-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$

Apakah pernyataan berikut benar atau salah mengenai bentuk penjumlahan $1 + 2 + ... + 5$?

  • Tanda elipsis menyembunyikan angka 3 dan 4. — Benar
  • Tanda elipsis berarti kita langsung menjumlahkan 2 dengan 5. — Salah

Pernyataan pertama Benar karena pola barisan adalah bilangan berurutan yang bertambah 1, sehingga antara 2 dan 5 terdapat angka 3 dan 4. Pernyataan kedua Salah karena elipsis bukan tanda pintas untuk melompati perhitungan, melainkan hanya meringkas penulisan deretan angka di tengahnya.

Elipsis (...) berarti melanjutkan pola secara berurutan.

Analogi Maju Mundur

Menjumlahkan bilangan positif sama dengan melangkah maju, dan menjumlahkan bilangan negatif sama dengan melangkah mundur dari posisi yang sama.

Untuk memahami bagaimana bilangan-bilangan ini berinteraksi, mari kita gunakan analogi melangkah di atas garis bilangan. Titik $0$ adalah posisi awal atau titik start kita. Setiap kali kita menjumlahkan bilangan positif, bayangkan kita melangkah maju ke arah kanan. Sebaliknya, saat kita menjumlahkan bilangan negatif, kita melangkah mundur ke arah kiri.

Apa yang terjadi jika kamu melangkah maju sejauh $10$ langkah ($+10$), lalu dari posisi itu kamu melangkah mundur sejauh $10$ langkah ($-10$)? Kamu akan kembali tepat di titik awal, yaitu $0$.

Secara matematis, operasi ini ditulis:

$$10 + (-10) = 0$$

Kondisi ini dinamakan saling meniadakan (additive inverse). Dua nilai yang memiliki besar yang sama tetapi berlawanan tanda akan saling membatalkan satu sama lain menjadi nol.

Trik Menjumlahkan Banyak Angka

Pasangan bilangan berlawanan tanda dalam deret panjang dapat dicoret langsung menjadi nol.

Jika kita menghitung deret $-10 + (-9) + (-8) + ... + 10 + 11 + 12$ dari kiri ke kanan secara membabi buta (mulai dari $-10 + (-9) = -19$, lalu ditambah $-8$, dan seterusnya), perhitungannya akan sangat panjang dan rawan salah hitung. Namun, berbekal prinsip saling meniadakan, kita bisa mengelompokkan pasangan bilangan yang berlawanan tanda:

$$\begin{aligned} & (-10 + 10) = 0 \\ & (-9 + 9) = 0 \\ & (-8 + 8) = 0 \\ & \quad \vdots \\ & (-1 + 1) = 0 \end{aligned}$$

Semua pasangan dari $-10$ hingga $10$ habis menjadi nol. Lalu, bilangan apa saja yang tidak memiliki pasangan?

  1. Bilangan $0$ berada tepat di tengah (tidak mengubah jumlah apa pun).

  2. Bilangan $11$ dan $12$ di ujung kanan tidak memiliki pasangan bilangan negatif (karena deret tidak memiliki $-11$ maupun $-12$).

Dengan demikian, bentuk deret tersebut menyusut menjadi:

$$0 + 11 + 12 = 23$$

Jadi, Opsi C adalah jawaban yang benar karena seluruh bilangan dari $-10$ sampai $10$ saling meniadakan menjadi nol, menyisakan $11$ dan $12$ yang berjumlah $23$.

Memilih Opsi A ($21$) biasanya terjadi karena terburu-buru menjumlahkan $10 + 11$ dan melewatkan angka $12$. Sementara itu, Opsi B ($22$) keliru menjumlahkan $10 + 12$ tanpa menyertakan $11$. Begitu juga dengan Opsi D ($24$) dan Opsi E ($25$) yang salah memperkirakan sisa batas akhir deret.

Jika kamu menjumlahkan bilangan berurutan $(-5) + (-4) + ... + 6 + 7$, angka mana saja yang tersisa dan tidak dicoret menjadi nol?

  • 6 dan 7
  • 5, 6, dan 7
  • Hanya 7
  • 13

Jawaban: 6 dan 7

Opsi A benar karena semua pasangan bilangan bulat dari -5 sampai 5 saling meniadakan menjadi 0, sehingga hanya menyisakan angka 6 dan 7. Opsi B salah karena angka 5 ikut saling meniadakan dengan -5. Opsi C salah karena mengabaikan angka 6. Opsi D salah karena 13 merupakan hasil penjumlahan (6 + 7), sedangkan pertanyaannya menanyakan angka mana saja yang tersisa.

Pasangan bilangan dengan nilai sama dan berlawanan tanda hasilnya nol dalam penjumlahan panjang.