Aljabar Dasar: Menyebar Angka Tanpa Salah Tanda

Analogi Paket Kiriman

Pernah nggak kamu mesen barang dalam bentuk paketan atau parsel? Coba deh, kita bayangin tanda kurung $(\dots)$ di matematika itu sama kayak sebuah kotak parsel.

Misalnya kamu punya ekspresi $2(\sqrt{7} + 2)$. Di sini, isi parselnya adalah:

1 buah semangka (kita anggap ini melambangkan $\sqrt{7}$)
2 buah apel (ini melambangkan angka $2$)

Tanda tambah ($+$) di dalam situ fungsinya cuma sebagai kata hubung "DAN". Jadi di dalam satu parsel ada 1 semangka dan 2 apel.

Nah, angka $2$ di luar kurung artinya kamu punya 2 parsel yang identik.

Kalau parselnya dibongkar semua dan isinya digabung, total yang kamu punya pasti:

$2 \times 1$ semangka = 2 semangka ($2\sqrt{7}$)
$2 \times 2$ apel = 4 apel ($4$)

Inilah yang namanya Sifat Distributif dalam matematika. Mengalikan angka di luar kurung berarti menggandakan SEMUA isi di dalam kurung persis seperti wujud aslinya. Kamu nggak cuma mengalikan barang yang pertama, tapi semua barang yang ada di dalamnya!

Berdasarkan prinsip kotak parsel, apa hasil dari $3(\sqrt{5} + 4)$?

$3\sqrt{5} + 4$
$3\sqrt{5} + 7$
$3\sqrt{5} + 12$
$3\sqrt{5} - 12$

Jawaban: $3\sqrt{5} + 12$

Angka 3 dikalikan ke akar 5 menjadi 3 akar 5, dan 3 dikalikan ke +4 menjadi +12.

Sifat distributif berarti mengalikan angka di luar kurung dengan semua suku di dalam kurung.

Jebakan Tanda Plus/Minus

Tadi waktu kamu ngerjain soal $2(\sqrt{7} + 2)$, jawabanmu sempat jadi $2\sqrt{7} - 4$. Padahal, kita udah sepakat kalau di dalam parselnya ada "1 semangka DAN 2 apel". Lalu, dari mana datangnya tanda minus ($-$)?

Biasanya, otak kita secara nggak sadar lagi 'terpengaruh' sama operasi yang baru aja kita lakuin sebelumnya, yaitu ngitung bagian penyebut pecahan!

Di soal merasionalkan pecahan, penyebutnya dihitung pakai rumus selisih kuadrat: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Rumus itu memang selalu menghasilkan tanda minus. Tapi ingat, itu cuma untuk bagian BAWAH (penyebut).

Untuk bagian ATAS (pembilang), operasinya murni perkalian distributif angka positif. Mari kita lihat pelan-pelan:

Pengalinya adalah angka $2$ (positif).
$ (+2) \times (\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} $
$ (+2) \times (+2) = +4 $

Jadi, kuncinya adalah memisahkan fokusmu. Selesaikan dulu bagian bawah (yang pasti jadi kurang-kurangan), baru beralih fokus sepenuhnya ke bagian atas (yang cuma dikali biasa sesuai aslinya).

Tentukan benar atau salah pernyataan terkait perkalian aljabar ini!

Hasil dari $3(\sqrt{2} + 5)$ adalah $3\sqrt{2} + 15$. — Benar
Tanda plus di dalam kurung bisa berubah jadi minus saat dikalikan dengan angka positif. — Salah

Jika pengali luar (3) positif, maka tanda tambah di dalam tetap tambah: 3(x+5) = 3x + 15. Tanda minus muncul jika pengalinya negatif atau karena aturan selisih kuadrat pada perkalian dua kurung.

Tanda operasi dalam kurung tidak berubah jika pengalinya positif.

Menyatukan Kepingan Puzzle

Sekarang kita udah paham gimana bongkar parsel (distributif) dan kenapa tandanya nggak berubah. Waktunya kita terapin ini ke alur merasionalkan pecahan secara utuh.

Merasionalkan pecahan yang ada akarnya itu sebenernya cuma serangkaian langkah pasti. Kalau kamu kerjain bertahap, kamu nggak bakal kejebak salah tanda.

Coba perhatikan alur di atas:

Kalikan atas bawah dengan sekawannya, yaitu $(\sqrt{7} + 2)$. (Kamu udah lakuin ini dengan benar di awal!)
Selesaikan penyebut. Rumus selisih kuadrat: $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = 7 - 4 = 3$.
Sederhanakan pecahan. Pecahan kita sekarang adalah $\frac{6(\sqrt{7} + 2)}{3}$. Jangan keburu sebar yang atas! Bagi dulu angka di luarnya: $6 \div 3 = 2$.
Tahap Pamungkas (Distributif). Sekarang sisa $2(\sqrt{7} + 2)$. Eksekusi perlahan, ingat analogi parsel kita. Semangka dan apel, digandakan dua kali lipat, tandanya tetap tambah. Hasil akhirnya: $2\sqrt{7} + 4$.