Menyusun Sisa Polinomial

Menggali Informasi dari Pembagi Kuadrat

Pembagi berbentuk kuadrat dapat difaktorkan untuk mendapatkan lebih dari satu nilai pembuat nol, yang bisa disubstitusi ke bentuk sisanya. Dalam pembagian polinomial, jika suatu suku banyak dibagi oleh pembagi berderajat $n$, maka sisa pembagiannya berderajat maksimal $(n - 1)$. Karena pembagi kuadrat memiliki derajat $2$, bentuk sisanya maksimal berderajat $1$, seperti bentuk linear $(mx + n)$ atau pada kasus fungsi $f(x)$ di soal adalah $(bx + b)$.

Secara aljabar, hubungan pembagian $f(x)$ oleh $(x^2 - 1)$ dituliskan sebagai:

Berdasarkan Teorema Sisa, kita cukup memasukkan nilai pembuat nol pembagi ke dalam fungsi:

• Untuk $x = 1$, pembagi $(1^2 - 1) = 0$, sehingga:

• Untuk $x = -1$, pembagi $((-1)^2 - 1) = 0$, sehingga:

Langkah yang sama berlaku untuk suku banyak $g(x)$ yang dibagi oleh $(x^2 - 4)$ dengan sisa $(bx + b - 3)$:

Dengan memasukkan pembuat nol $x = 2$ dan $x = -2$:

• $g(2) = b(2) + b - 3 = 3b - 3$

• $g(-2) = b(-2) + b - 3 = -b - 3$

Kini petunjuk awal telah terkumpul rapi tanpa perlu mengetahui bentuk asli fungsi $f(x)$ maupun $g(x)$.

Mengeksekusi Konstanta Rahasia

Menemukan nilai konstanta yang belum diketahui dilakukan dengan menghubungkan syarat-syarat yang diberikan soal. Setelah mendapatkan petunjuk nilai fungsi pada tahap sebelumnya, langkah detektif kita berlanjut ke menghubungkan dua petunjuk utama: soal menyatakan bahwa sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x - 1)$ sama dengan sisa pembagian $g(x)$ oleh $(x + 2)$.

Berdasarkan Teorema Sisa, sisa pembagian oleh $(x - c)$ adalah nilai fungsi di titik $c$. Artinya, persamaan kuncinya adalah:

Kita sudah memperoleh ekspresi kedua nilai ini dalam variabel $b$:

Dengan ditemukannya $b = -1$, kita dapat langsung memverifikasi pernyataan-pernyataan pada soal satu per satu:

• Opsi A benar: Nilai konstanta $b$ terbukti adalah $-1$.

• Opsi B benar: Sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x + 1)$ adalah $f(-1)$. Pada tahap sebelumnya telah diperoleh $f(-1) = -b + b = 0$.

• Opsi C salah: Nilai $f(1) = 2b = 2(-1) = -2$, bukan $6$. Kesalahan mendapatkan nilai $6$ umumnya muncul jika terjadi salah tanda saat menyelesaikan persamaan aljabar (misal keliru mengira $b = 3$).

• Opsi D salah: Nilai $g(-2) = -b - 3 = -(-1) - 3 = -2$, bukan $0$. Kesalahan ini biasanya muncul jika terburu-buru mengasumsikan pembagian selalu habis tanpa sisa.

Menyusun Ulang Puzzle $h(x)$

Sisa pembagian dari fungsi hasil kali $h(x)$ dicari dengan memfaktorkan pembagi barunya dan membuat bentuk umum sisa $sx + t$. Kita diminta mencari sisa pembagian fungsi komposit perkalian $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ jika dibagi oleh $(x^2 + x - 2)$.

Langkah pertama adalah memfaktorkan pembagi kuadrat tersebut:

Pembuat nol dari pembagi ini adalah $x = -2$ dan $x = 1$.

Karena pembagi berderajat $2$, bentuk sisa pembagiannya maksimal berderajat $1$. Mari kita misalkan sisa pembagiannya adalah $S(x) = sx + t$, sehingga bentuk algoritmanya:

Sekarang, kita evaluasi nilai $h(x)$ pada kedua pembuat nol tersebut:

1. Untuk pembuat nol $x = 1$: $$h(1) = f(1) \cdot g(1)$$ Dari tahap sebelumnya kita punya $f(1) = -2$, dan dari premis soal diketahui $g(1) = 3$. Maka: $$h(1) = (-2) \cdot 3 = -6$$ Substitusi ke bentuk sisa $S(1)$: $$s(1) + t = -6 \implies s + t = -6 \quad \text{...(Persamaan 1)}$$

2. Untuk pembuat nol $x = -2$: $$h(-2) = f(-2) \cdot g(-2)$$ Dari premis soal diketahui $f(-2) = 3$, dan dari tahap sebelumnya $g(-2) = -2$. Maka: $$h(-2) = 3 \cdot (-2) = -6$$ Substitusi ke bentuk sisa $S(-2)$: $$s(-2) + t = -6 \implies -2s + t = -6 \quad \text{...(Persamaan 2)}$$

Langkah penyelesaian sistem persamaan linear melalui eliminasi:

Substitusikan $s = 0$ ke Persamaan 1:

Sisa pembagian $h(x)$ adalah $S(x) = 0x - 6 = -6$.

• Opsi E salah: Sisanya adalah konstanta $-6$, bukan $18x + 18$.