Aksioma Pecahan dan Manipulasi Aljabar
Logika Penjumlahan Pecahan
Pecahan hanya dapat dijumlahkan jika penyebutnya sama, yang dicapai dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama. Dalam matematika deduktif, kita memandang aljabar seperti menyusun balok bangunan: kita tidak boleh mengubah nilai total pecahan, tetapi kita bebas mengubah bentuk luarnya. Satu-satunya cara legal untuk mempertahankan nilai pecahan adalah dengan mengalikannya dengan bilangan $1$, misalnya dalam bentuk $\frac{d}{d}$ atau $\frac{b}{b}$.
Ketika berhadapan dengan penjumlahan dua pecahan sembarang $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$, kedua penyebut belum setara. Agar memiliki Penyebut Bersama, kita kalikan pecahan pertama dengan $\frac{d}{d}$ sehingga bernilai $\frac{ad}{bd}$, dan pecahan kedua dikalikan dengan $\frac{b}{b}$ sehingga bernilai $\frac{bc}{bd}$. Karena kedua pecahan kini memiliki penyebut yang sama ($bd$), pembilangnya dapat langsung digabungkan menjadi $\frac{ad+bc}{bd}$.
Bentuk penjumlahan aljabar dari p/q + r/s yang benar secara formal adalah...
- (ps + qr) / qs
- (p + r) / (q + s)
- (p + r) / qs
- (pq + rs) / qs
Jawaban: (ps + qr) / qs
Bentuk penjumlahan pecahan p/q + r/s memerlukan penyebut bersama qs. Kalikan p/q dengan s/s menjadi ps/qs, dan kalikan r/s dengan q/q menjadi qr/qs. Jumlah keduanya menghasilkan (ps + qr) / qs. Pilihan B salah karena menjumlahkan langsung penyebut dan pembilang; pilihan C salah karena lupa mengalikan silang pembilang; pilihan D salah karena salah memasangkan faktor pengali.
Prinsip menyamakan penyebut pada penjumlahan pecahan.
Menerapkan pada Variabel
Bentuk rasional dengan variabel dioperasikan dengan prinsip deduktif yang sama persis seperti pecahan aritmetika. Simbol huruf $x$ dan $y$ mewakili bilangan riil, sehingga aturan menyamakan Penyebut Bersama tetap berlaku secara mutlak. Pada ekspresi yang ditanyakan pada soal:
$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$$
Penyebut pecahan pertama adalah $y$ dan pecahan kedua adalah $x$. Kelipatan persekutuan terkecil keduanya adalah $xy$. Untuk menyamakan penyebut tanpa mengubah nilai nilainya, kita susun ulang tiap pecahan langkah demi langkah:
Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $\frac{x}{x}$ (faktor bernilai 1), yang menghasilkan $\frac{x^2}{xy}$.
Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{y}{y}$ (faktor bernilai 1), yang menghasilkan $\frac{y^2}{xy}$.
Setelah kedua pecahan memiliki penyebut yang sama, kita tinggal menjumlahkan pembilangnya:
$$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$
Tentukan kebenaran langkah aljabar berikut terkait ekspresi x/y + y/x:
- Penyebut bersama dari x/y dan y/x adalah xy. — Benar
- x/y ditambah y/x sama dengan (x+y)/(x+y). — Salah
Pernyataan 1 Benar karena KPK dari penyebut y dan x adalah perkalian keduanya, yaitu xy. Pernyataan 2 Salah karena menjumlahkan langsung x/y + y/x menjadi (x+y)/(x+y) melanggar aturan dasar pecahan; bentuk yang benar setelah disamakan penyebutnya adalah (x^2 + y^2)/xy.
Pemahaman transformasi x/y + y/x menjadi (x^2+y^2)/xy
Substitusi Fakta Matematis
Setelah disederhanakan secara aljabar, nilai akhir dapat dicari dengan mensubstitusi nilai yang diketahui dari soal. Pada tahap sebelumnya, kita telah membuktikan secara deduktif bahwa ekspresi pecahan target setara dengan:
$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$
Soal memberikan dua premis pasti, yaitu $x^2 + y^2 = 36$ dan $xy = 12$. Dengan melakukan Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk pecahan yang sudah kita susun, kita peroleh:
$$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{36}{12} = 3$$
Hasil ini menunjukkan secara tegas bahwa Opsi C adalah jawaban yang benar.