Membongkar Konstanta Rahasia di Balik Grafik

Menerjemahkan Titik Grafik ke Fungsi

Setiap titik pada grafik fungsi mewakili pasangan nilai input dan output yang benar jika dimasukkan ke dalam rumusnya.

Grafik kurva konsentrasi obat dengan puncak di koordinat 3, 5 dan tanda tanya pada jam ke-6.

Grafik pada dasarnya adalah kumpulan hasil nyata dari sebuah rumus. Bayangkan fungsi matematika seperti resep kue:

Titik puncak pada grafik sejajar persis dengan angka $3$ pada sumbu mendatar dan angka $5$ pada sumbu tegak. Artinya, koordinat titik puncak tersebut adalah $(3, 5)$. Dalam notasi matematika, ketika input $t = 3$, maka output konsentrasinya adalah $5$, atau ditulis:

$$C(3) = 5$$

Nilai $(3, 5)$ inilah kunci utama yang menghubungkan grafik visual dengan rumus aljabar yang diberikan di soal.

Sebuah grafik fungsi suhu $T(w)$ terhadap waktu $w$ memiliki titik di koordinat $(4, 12)$. Bagaimana penulisan yang benar dalam notasi fungsi untuk titik tersebut?

  • $T(4) = 12$
  • $T(12) = 4$
  • $T(w) = 16$
  • $w(4) = 12$

Jawaban: $T(4) = 12$

Koordinat $(4, 12)$ memetakan sumbu horizontal (input waktu $w = 4$) ke sumbu vertikal (output suhu $T = 12$), sehingga notasinya adalah $T(4) = 12$. Opsi B terbalik meletakkan input dan output. Opsi C keliru menjumlahkan kedua angka koordinat, sedangkan Opsi D salah menuliskan variabel input sebagai nama fungsi.

Titik pada grafik memetakan nilai sumbu horizontal sebagai input dan sumbu vertikal sebagai output fungsi.

Kenapa Gak Langsung Masukin t = 6?

Fungsi yang memiliki huruf konstanta tak diketahui tidak bisa langsung dihitung nilainya, melainkan harus dilengkapi dulu.

Ilustrasi kertas resep dengan bahan rahasia tertutup noda dan sebuah kue jadi berlabel 3, 5 .

Dalam soal, rumus konsentrasi obat diberikan sebagai:

$$C(t) = \frac{at}{t^2 + 9}$$

Rumus ini ibarat sebuah resep kue, sedangkan huruf $a$ adalah bahan rahasia yang takarannya belum tertulis. Jika kita langsung memaksakan memasukkan jam ke-$6$ ($t = 6$) ke dalam rumus tanpa tahu nilai $a$:

$$C(6) = \frac{a(6)}{6^2 + 9} = \frac{6a}{36 + 9} = \frac{6a}{45}$$

Perhatikan bahwa hasilnya masih menggantung dan memuat huruf $a$. Selama takaran bahan rahasia $a$ belum kita ketahui, kita tidak akan pernah mendapatkan angka konsentrasi yang pasti.

Solusinya, kita harus membongkar takaran $a$ terlebih dahulu. Caranya adalah dengan memanfaatkan kue jadi yang sudah kita cicipi pada halaman sebelumnya, yaitu titik $(3, 5)$ di mana $C(3) = 5$.

Langkah 1: Membongkar Nilai Konstanta a

Nilai konstanta tak diketahui dicari dengan mensubstitusikan pasangan nilai input dan output yang sudah pasti ke dalam fungsi.

Kita tahu dari grafik bahwa kurva melalui titik $(3, 5)$. Artinya, ketika kita memasukkan $t = 3$, nilai $C(3)$ harus bernilai $5$. Mari kita lakukan substitusi langkah demi langkah ke rumus $C(t) = \frac{at}{t^2 + 9}$:

  1. Substitusi titik ke rumus:

    $$5 = \frac{a(3)}{3^2 + 9}$$

  2. Hitung operasi pangkat dan penyebut:

    $$5 = \frac{3a}{9 + 9} \implies 5 = \frac{3a}{18}$$

  3. Sederhanakan pecahan: Bagi pembilang dan penyebut dengan $3$:

    $$5 = \frac{a}{6}$$

  4. Kalikan silang:

    $$a = 5 \times 6 = 30$$

Kini "bahan rahasia" kita sudah terbongkar: nilainya adalah $a = 30$.

Fungsi kecepatan roket diberikan oleh $V(t) = k \cdot t^2$. Diketahui saat $t = 2$ detik, kecepatannya adalah $12\text{ m/s}$. Berapakah nilai konstanta $k$?

  • $3$
  • $6$
  • $24$
  • $48$

Jawaban: $3$

Substitusikan input $t = 2$ dan output $V(2) = 12$ ke fungsi: $12 = k(2^2) \implies 12 = 4k \implies k = 3$. Opsi B keliru karena lupa mengkuadratkan nilai waktu ($12 = 2k$). Opsi C dan D keliru karena melakukan operasi perkalian terbalik alih-alih pembagian ($12 \times 2$ atau $12 \times 4$).

Substitusi pasangan titik ke dalam fungsi untuk mencari konstanta.