Persamaan Bulat & Pecahan Harga

Memodelkan Masalah Belanja

Langkah pertama menyelesaikan teka-teki kata adalah mengubahnya menjadi kalimat matematika. Saat berhadapan dengan soal cerita tentang pembelian barang, kita menetapkan simbol variabel untuk mewakili banyaknya tiap barang yang dibeli:

Total belanja Wati adalah Rp$515.000$ dengan harga per buah berturut-turut $11$ ribu, $22$ ribu, dan $23$ ribu rupiah. Jika seluruh harga ditulis dalam satuan ribuan rupiah, total pengeluarannya dapat dinyatakan sebagai satu persamaan linear:

$$11a + 22b + 23c = 515$$

Di kelas aljabar umum, satu persamaan dengan tiga variabel memang memiliki tak hingga banyak penyelesaian desimal. Namun dalam dunia nyata, buah tidak dijual dalam pecahan desimal sembarang di kasir. Nilai $a$, $b$, dan $c$ wajib berupa bilangan bulat tak negatif ($0, 1, 2, \dots$).

Persamaan aljabar yang solusinya dibatasi hanya untuk bilangan bulat ini dikenal sebagai persamaan Diophantine. Syarat "harus bilangan bulat" inilah yang bertindak sebagai aturan pengunci tambahan untuk menemukan nilai yang valid tanpa memerlukan tiga persamaan terpisah.

Budi membeli pensil ($p$) seharga $2$ ribu, buku ($b$) seharga $5$ ribu, dan penggaris ($g$) seharga $3$ ribu rupiah. Total belanja Budi adalah $30$ ribu rupiah. Manakah model matematika yang tepat untuk pengeluaran Budi?

  • 2p + 5b + 3g = 30
  • 2p + 3b + 5g = 30
  • 10(p + b + g) = 30
  • p + b + g = 30

Jawaban: 2p + 5b + 3g = 30

Model matematika pengeluaran dibentuk dengan mengalikan harga satuan tiap barang dengan variabel jumlahnya: pensil seharga 2 ribu (2p), buku seharga 5 ribu (5b), dan penggaris seharga 3 ribu (3g). Jumlahkan ketiganya hingga sama dengan total belanjaan 30 ribu, menghasilkan 2p + 5b + 3g = 30. Opsi B salah memasangkan harga buku dan penggaris, Opsi C menjumlahkan semua harga menjadi satu pengali, dan Opsi D mengabaikan harga satuan barang.

Mengubah deskripsi belanja dengan harga berbeda ke bentuk persamaan linear.

Melihat Pola Kelipatan

Menyederhanakan persamaan panjang dimulai dengan mencari angka yang punya faktor persekutuan. Jika diperhatikan sekilas, angka $11$, $22$, dan $23$ pada persamaan belanjaan tampak seperti kumpulan angka yang tidak beraturan:

$$11a + 22b + 23c = 515$$

Padahal, angka $11$ dan $22$ memiliki keterikatan langsung: $22$ merupakan kelipatan dari $11$ ($22 = 11 \times 2$). Kita dapat mengelompokkan kedua suku pertama menggunakan sifat distributif:

$$11a + 22b = 11(a + 2b)$$

Diagram alir penggabungan dua suku 11a dan 22b menjadi satu variabel 11m.

Karena $a$ dan $b$ masing-masing menyatakan jumlah buah (bilangan bulat tak negatif), maka kombinasi $(a + 2b)$ juga menghasilkan sebuah bilangan bulat baru. Kita dapat memisalkan:

$$m = a + 2b$$

Dengan substitusi ini, persamaan tiga variabel sebelumnya langsung menyusut menjadi persamaan dua variabel yang jauh lebih ringkas:

$$11m + 23c = 515$$

Kita berhasil memangkas kerumitan soal dari tiga variabel menjadi dua variabel saja tanpa menghilangkan informasi belanjaan pepaya dan melon.

Diberikan persamaan $7x + 14y + 5z = 100$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan bulat tak negatif. Langkah apa yang paling tepat untuk menyederhanakan jumlah variabel pada persamaan tersebut?

  • Memfaktorkan 7x + 14y menjadi 7(x + 2y) lalu menggantinya dengan 7k.
  • Menggabungkan 14y + 5z menjadi 19w karena letaknya berdampingan.
  • Membagi seluruh suku pada persamaan secara langsung dengan angka 5.
  • Mengganti variabel z menjadi bentuk 100 - 7x - 14y tanpa pemisalan.

Jawaban: Memfaktorkan 7x + 14y menjadi 7(x + 2y) lalu menggantinya dengan 7k.

Koefisien 7 dan 14 memiliki faktor persekutuan 7 (karena 14 = 7 x 2), sehingga bentuk 7x + 14y dapat difaktorkan menjadi 7(x + 2y). Karena x dan y adalah bilangan bulat tak negatif, (x + 2y) dapat digantikan oleh variabel bulat baru k menjadi 7k, mereduksi persamaan dari 3 variabel menjadi 2 variabel (7k + 5z = 100). Opsi B keliru karena koefisien beda variabel tidak dapat dijumlahkan sembarangan, Opsi C membuat suku lain menjadi pecahan tak teratur, dan Opsi D tidak mengurangi jumlah variabel secara efektif.

Mengenali kelipatan untuk memfaktorkan dan menyederhanakan variabel.

Membedah Angka untuk Habis Dibagi

Pecah bilangan besar menjadi bagian yang habis dibagi dan bagian sisa agar mudah dikelola. Dari bentuk $11m + 23c = 515$, sasaran kita adalah menyelidiki nilai $c$ (banyak durian). Kita isolasi variabel $m$ terlebih dahulu:

$$11m = 515 - 23c \implies m = \frac{515 - 23c}{11}$$

Agar nilai $m$ berupa bilangan bulat, seluruh pembilang harus habis dibagi oleh $11$. Kita membedah konstanta $515$ dan suku variabel $23c$ ke dalam kelipatan $11$ terdekat.

Mari kita uraikan komponen pembilang secara bertahap:

  1. Memecah $515$: Kelipatan $11$ terdekat di atas $515$ adalah $517$ ($11 \times 47 = 517$). Maka kita tulis $515 = 517 - 2$.

  2. Memecah $23c$: Kelipatan $11$ terdekat dari $23$ adalah $22$. Maka suku $-23c$ kita pecah menjadi $-22c - c$.

Susun kembali pembilang pecahan dengan pengelompokan tersebut:

$$m = \frac{517 - 2 - 22c - c}{11} = \frac{517 - 22c - (2 + c)}{11}$$

Pisahkan bagian yang sudah jelas habis dibagi $11$:

$$m = \frac{517}{11} - \frac{22c}{11} - \frac{2 + c}{11} = 47 - 2c - \frac{2 + c}{11}$$

Ubah bentuk $k = \frac{103 - 17p}{5}$ dengan memisahkan kelipatan $5$ agar bentuk pembagian bilangan bulatnya lebih mudah dianalisis. Pecahan manakah yang benar?

  • k = 20 - 3p - (2p + 3) / 5
  • k = 21 - 3p - (2p + 2) / 5
  • k = 21 - 4p + (3p - 2) / 5
  • k = 20 - 4p + (3 - 3p) / 5

Jawaban: k = 21 - 3p - (2p + 2) / 5

Angka 103 didekati dengan kelipatan 5 terdekat di atasnya, yaitu 105, sehingga 103 = 105 - 2. Suku -17p didekati dengan kelipatan 5, yaitu -15p - 2p. Persamaan menjadi k = (105 - 15p - 2 - 2p) / 5 = (105/5) - (15p/5) - (2p + 2)/5 = 21 - 3p - (2p + 2)/5. Opsi B benar. Opsi A salah mengelompokkan sisa pembagian, sedangkan Opsi C dan D keliru dalam memfaktorkan koefisien variabel.

Mampu memecah konstanta dan variabel agar terlihat bagian yang habis dibagi.