Membongkar Peluang Majemuk Bersyarat
Membongkar Makna "Paling Sedikit"
Syarat 'paling sedikit' berarti kita harus mendata semua kemungkinan skenario mulai dari batas bawah hingga batas maksimum. Bayangkan kamu sedang merakit tim permainan (squad) beranggotakan 6 orang dengan dua peran penting: slot Healer (guru wanita) dan slot Attacker (guru pria). Jika aturan tim meminta "paling sedikit 3 Healer", aturan tersebut bukan hanya menunjuk pada satu susunan tunggal.
Skenario tim yang memenuhi syarat minimal 3 Healer terdiri dari empat kemungkinan terpisah:
Kasus 1: 3 Healer dan 3 Attacker ($3\text{ Wanita} + 3\text{ Pria}$)
Kasus 2: 4 Healer dan 2 Attacker ($4\text{ Wanita} + 2\text{ Pria}$)
Kasus 3: 5 Healer dan 1 Attacker ($5\text{ Wanita} + 1\text{ Pria}$)
Kasus 4: 6 Healer dan 0 Attacker ($6\text{ Wanita} + 0\text{ Pria}$)
Setiap susunan di atas merupakan kasus yang berdiri sendiri. Sering kali ada godaan untuk berhenti menghitung hanya saat wanita berjumlah tepat 3 orang. Padahal, frasa "paling sedikit 3" mencakup rentang dari 3 hingga kapasitas kursi maksimal, yaitu 6.
Sebuah tim inti yang beranggotakan 5 orang akan dipilih dari 7 pemain senior dan 6 pemain junior dengan syarat 'paling banyak 2 pemain junior'. Komposisi mana saja yang harus kamu hitung peluangnya?
- Hanya 2 junior dan 3 senior
- 2 junior & 3 senior, 1 junior & 4 senior, 0 junior & 5 senior
- 3 junior & 2 senior, 4 junior & 1 senior, 5 junior & 0 senior
- 2 junior & 3 senior, 3 junior & 2 senior
Jawaban: 2 junior & 3 senior, 1 junior & 4 senior, 0 junior & 5 senior
Kata 'paling banyak 2 junior' berarti batas maksimalnya adalah 2. Maka, skenario yang memenuhi syarat adalah 2 junior (didampingi 3 senior), 1 junior (didampingi 4 senior), atau 0 junior (didampingi 5 senior). Pilihan A salah karena menganggap batas sebagai nilai tunggal, sedangkan C salah karena tertukar dengan syarat 'paling sedikit'.
Menentukan daftar skenario dari syarat batas atas/bawah
Kapan Dikali, Kapan Ditambah?
Dalam satu skenario, pilihan pria dan wanita dikalikan (DAN); sedangkan antar skenario yang berbeda dijumlahkan (ATAU). Dua prinsip pencacahan ini memiliki fungsi yang berbeda: Aturan Perkalian dipakai saat tahapan harus berlangsung serentak untuk membentuk satu tim utuh, sedangkan Aturan Penjumlahan dipakai saat berpindah antar skenario yang saling lepas.
Mari periksa Kasus 1: kita membutuhkan 3 wanita DAN 3 pria sekaligus agar genap 6 kursi juri. Karena kedua peran ini harus ada bersamaan dalam satu tim, kita mengalikan banyak cara pemilihannya menggunakan Kombinasi:
$$_{8}C_3 \times {_{10}}C_3 = 56 \times 120 = 6720$$
Sebaliknya, sebuah tim juri tidak mungkin sekaligus berada di Kasus 1 ($3\text{W } 3\text{P}$) dan Kasus 2 ($4\text{W } 2\text{P}$). Karena skenario ini adalah opsi alternatif (ATAU) yang tidak bisa terjadi bersamaan, hasil akhir tiap skenario nantinya akan disatukan dengan cara ditambahkan, bukan dikalikan.
Dalam satu keranjang terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 2 bola sekaligus. Kita ingin menghitung peluang terambilnya (1 merah DAN 1 biru) ATAU (2 biru). Tentukan kebenaran pernyataan berikut:
- Banyak cara terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru dihitung dengan menjumlahkan kemungkinan merah dan kemungkinan biru. — Salah
- Banyak cara kejadian yang memenuhi syarat dihitung dengan menjumlahkan hasil dari skenario (1M dan 1B) dengan skenario (2B). — Benar
Pernyataan 1 Salah: Dalam satu skenario pengambilan, memilih 1 bola merah DAN 1 bola biru adalah dua tahap yang terjadi serentak, sehingga banyak caranya harus dikalikan ($C(5,1) \times C(3,1)$), bukan dijumlahkan. Pernyataan 2 Benar: Skenario (1M dan 1B) serta skenario (2B) adalah dua peristiwa alternatif yang saling lepas (ATAU), sehingga banyak cara kejadian yang memenuhi syarat diperoleh dengan menjumlahkan kedua skenario tersebut.
Membedakan aturan perkalian dan penjumlahan dalam kejadian majemuk
Total Kemungkinan Keseluruhan
Peluang adalah perbandingan antara jumlah kasus yang diinginkan dengan total seluruh kemungkinan tanpa syarat. Menentukan peluang tidak bisa diselesaikan dengan rasio intuitif sederhana seperti membagi 3 wanita dengan 15 orang yang tersisa ($\frac{3}{15} = 0{,}20$). Kesalahan inilah yang mendasari munculnya Opsi A, yang melupakan kaidah bahwa juri dipilih secara serentak dari seluruh kelompok.
Dalam teori peluang, seluruh kemungkinan susunan acak tanpa memandang jenis kelamin disebut sebagai Ruang Sampel. Dari total 18 orang guru ($10\text{ pria} + 8\text{ wanita}$), kita akan memilih 6 orang juri secara bebas:
$$_{18}C_6 = \frac{18!}{12! \times 6!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564$$
Angka $18564$ inilah yang bertindak sebagai pembagi (penyebut) untuk mengukur seberapa besar porsi skenario yang memenuhi syarat.