Menaklukkan Simbol Operasi Aljabar
Cara Kerja Mesin Simbol
Simbol operasi baru hanyalah nama untuk sebuah aturan komputasi yang menerima dua input. Di dalam matematika, kita bebas mendefinisikan lambang apa pun—seperti segitiga $\triangle$, tanda pagar $\#$, atau lingkaran bulat—sebagai sebuah operasi biner. Operasi ini bukan rumus gaib yang memiliki sifat tersembunyi, melainkan aturan pemrosesan yang jelas layaknya sebuah mesin pabrik.
Bayangkan simbol $\triangle$ sebagai mesin yang memiliki dua corong masuk: bahan pertama $a$ di sebelah kiri dan bahan kedua $b$ di sebelah kanan. Begitu kedua bahan masuk, mesin akan memprosesnya persis sesuai "resep" kerja yang tertempel pada badannya, yaitu rumus $\frac{2a^2 + b^2}{a + b}$, lalu mengeluarkan satu nilai produk akhir.
Pada soal ini, pabrik menerima bahan kedua $b = 2$ dan mengeluarkan produk akhir bernilai $4{,}4$. Berdasarkan aturan mesin, kita cukup mengganti setiap huruf $b$ dengan angka $2$:
$$a \mathbin{\triangle} 2 = \frac{2a^2 + 2^2}{a + 2} = \frac{2a^2 + 4}{a + 2}$$
Karena hasil keluarannya sudah dipatok sebesar $4{,}4$, kita memperoleh hubungan aljabar:
$$\frac{2a^2 + 4}{a + 2} = 4{,}4$$
Tantangan berikutnya tinggal menemukan nilai bahan baku $a$ yang menghasilkan angka tersebut.
Jika didefinisikan operasi kustom $m * n = m(n - 1)$, berapakah hasil dari $5 * 3$?
- 8
- 10
- 14
- 15
Jawaban: 10
Substitusikan nilai m = 5 dan n = 3 ke dalam definisi operasi: m * n = m(n - 1) = 5(3 - 1) = 5(2) = 10. Opsi 15 salah karena menganggap tanda bintang sebagai perkalian biasa (5 × 3). Opsi 14 salah akibat keliru urutan hitung 5(3) - 1. Opsi 8 salah karena menjumlahkan nilai 5 + 3.
Prinsip substitusi pada operasi biner kustom sederhana
Bebas dari Bentuk Pecahan
Persamaan aljabar berupa pecahan dapat diformalkan dengan perkalian silang agar lebih mudah difaktorkan. Menyelesaikan persamaan yang memuat pecahan aljabar bersama bilangan desimal seperti $\frac{2a^2 + 4}{a + 2} = 4{,}4$ akan jauh lebih mudah jika desimal diubah terlebih dahulu menjadi pecahan biasa.
Bilangan desimal $4{,}4$ setara dengan $\frac{44}{10}$. Jika pembilang dan penyebut disederhanakan dengan membaginya dengan $2$, kita mendapatkan bentuk pecahan murni $\frac{22}{5}$. Persamaan kita kini berbentuk kesamaan dua pecahan:
$$\frac{2a^2 + 4}{a + 2} = \frac{22}{5}$$
Untuk membebaskan persamaan dari penyebut, terapkan metode perkalian silang dengan mengalikan Pembilang Kiri $(2a^2 + 4)$ dengan Penyebut Kanan $5$, serta Penyebut Kiri $(a + 2)$ dengan Pembilang Kanan $22$:
$$5(2a^2 + 4) = 22(a + 2)$$
Lakukan ekspansi aljabar secara teliti pada kedua ruas:
$$10a^2 + 20 = 22a + 44$$
Pindahkan seluruh suku di ruas kanan ke ruas kiri agar persamaan kuadrat berada dalam bentuk baku sama dengan nol:
$$10a^2 - 22a - 24 = 0$$
Bentuk kuadrat inilah yang siap difaktorkan untuk mencari nilai variabel $a$.
Menyeleksi Akar dengan Syarat
Akar dari persamaan kuadrat harus diuji ulang terhadap batasan nilai yang diberikan soal. Sering kali siswa berhenti tepat setelah memfaktorkan persamaan dan langsung menerima semua hasil perhitungan, padahal setiap persamaan rasional dan model fungsi memiliki batasan wilayah kerja atau domain.
Mari kita sederhanakan persamaan kuadrat $10a^2 - 22a - 24 = 0$ dengan membagi kedua ruas dengan $2$:
$$5a^2 - 11a - 12 = 0$$
Untuk memfaktorkannya, cari pasangan faktor dari $5 \times (-12) = -60$ yang apabila dijumlahkan bernilai $-11$. Dua angka yang memenuhi adalah $-15$ dan $+4$. Dengan menguraikan suku tengah, bentuk faktornya menjadi:
$$(5a + 4)(a - 3) = 0$$
Dari pemfaktoran ini didapatkan dua kandidat nilai:
$5a + 4 = 0 \implies a = -\frac{4}{5}$
$a - 3 = 0 \implies a = 3$
Sekarang, periksa kembali syarat keselamatan pada mesin pabrik di awal soal: variabel $a$ dan $b$ harus merupakan bilangan real tidak negatif ($a \ge 0, b \ge 0$). Nilai $a = -\frac{4}{5}$ berharga negatif, sehingga melanggar syarat domain dan harus digugurkan. Dengan demikian, satu-satunya nilai bahan $a$ yang sah adalah $\mathbf{a = 3}$.