Kombinasi Bersyarat: Memecah Syarat Jadi Angka

Menerjemahkan Syarat Berbeda Warna

Syarat mengambil 2 bola dengan warna berbeda berarti komposisi akhirnya harus memuat tepat 1 bola merah dan 1 bola biru.

Dalam kotak soal, hanya tersedia dua macam warna: 5 bola merah dan 3 bola biru. Karena kita mengambil tepat 2 bola sekaligus dan warnanya harus berbeda, situasi yang mungkin terjadi hanya satu: satu bola berwarna merah DAN satu bola berwarna biru. Kondisi terambilnya 2 bola merah atau 2 bola biru jelas tidak memenuhi syarat yang diminta.

Ilustrasi tangan mengambil satu bola merah dan satu bola biru secara bersamaan dari dalam kotak yang berisi bola merah dan biru.

Sama halnya seperti kita hendak mengenakan setelan pakaian: satu bagian adalah baju dan bagian lainnya adalah celana. Kedua komponen ini memiliki perannya masing-masing dan harus dipenuhi secara bersamaan.

Logika Aturan Perkalian

Ketika dua pilihan harus dilakukan bersamaan untuk membentuk satu kesatuan (syarat DAN), kita mengalikan banyak kemungkinan dari tiap pilihan tersebut.

Bayangkan kita ingin menyusun 1 setelan pakaian utuh. Kita memiliki 5 pilihan baju merah dan 3 pilihan celana biru. Setiap 1 baju merah yang kita pilih dapat dipasangkan dengan salah satu dari 3 pilihan celana biru yang ada. Akibatnya, total pasangan setelan yang terbentuk bukan didapat dari menjumlahkan pilihannya, melainkan dengan mengalikan keduanya: $5 \times 3 = 15$ pasang setelan.

Logika ini berlaku persis sama untuk bola pada soal. Mengambil 1 bola merah dan 1 bola biru adalah dua proses berpasangan yang terjadi bersamaan.

Seorang murid sedang memilih menu makan siang yang terdiri atas 1 makanan pokok dari 4 pilihan dan 1 lauk dari 5 pilihan. Berapa banyak kombinasi menu yang dapat ia pilih?

  • 9
  • 16
  • 20
  • 25

Jawaban: 20

Karena makanan pokok dan lauk dipilih bersamaan untuk membentuk satu menu utuh (syarat DAN), banyak kombinasinya dihitung dengan mengalikan kedua pilihan: $4 \times 5 = 20$ kombinasi. Menjumlahkan $4 + 5 = 9$ adalah kekeliruan penggunaan aturan penjumlahan.

Membedakan penggunaan aturan perkalian vs penjumlahan dalam pembentukan pasangan

Kombinasi dan Kesimpulan

Rumus Kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih saat identitas barang tidak peduli urutan; hasil ini lalu dikalikan untuk menjawab syarat utuh soal.

Dalam soal kita:

  1. Memilih 1 bola merah dari 5 bola merah yang tersedia:

    $$C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5\text{ cara}$$

  2. Memilih 1 bola biru dari 3 bola biru yang tersedia:

    $$C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3\text{ cara}$$

Berdasarkan Aturan Perkalian, total cara untuk mengambil 1 bola merah DAN 1 bola biru adalah:

$$\text{Total Cara} = C(5, 1) \times C(3, 1) = 5 \times 3 = 15\text{ cara}$$

Hasil 15 cara ini memastikan bahwa Opsi D adalah jawaban yang benar.

Pola memasangkan komponen dari kelompok berbeda seperti ini sering muncul dalam soal pembentukan kepanitiaan, seperti memilih 1 perwakilan pria dan 1 perwakilan wanita dari kelompok yang terpisah.

Untuk membentuk tim jaga malam, dibutuhkan 1 satpam senior (dari 3 yang ada) dan 1 satpam junior (dari 4 yang ada). Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut tentang jumlah cara pembentukan tim jaga malam!

  • Total cara pembentukan tim didapat dengan mengalikan C(3, 1) dan C(4, 1). — Benar
  • Total cara yang mungkin adalah 7 cara. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena pembentukan tim jaga malam memerlukan kehadiran satpam senior DAN junior secara bersamaan, sehingga banyak cara dihitung dengan mengalikan kombinasi dari kedua kelompok: $C(3, 1) \times C(4, 1)$. Pernyataan 2 Salah karena nilai 7 berasal dari penjumlahan $3 + 4$, padahal total cara yang benar adalah hasil perkalian $3 \times 4 = 12$ cara.

Menghitung total kejadian bersyarat dengan Aturan Perkalian