Peluruhan Zat: Mengurai Misteri Fase Waktu

Setengah dari Setengah

Pernahkah kamu memperhatikan harga gadget atau mobil bekas? Begitu keluar dari dealer atau toko, nilainya langsung turun. Kadang, ada barang yang nilainya merosot separuh setiap tahun secara teratur.

Nah, konsep "turun separuh secara teratur" ini persis sama dengan peluruhan zat radioaktif. Dalam matematika dan sains, kita menyebut durasi yang dibutuhkan agar sesuatu berkurang menjadi setengahnya sebagai waktu paruh (half-life).

Menghitung manual "dibagi dua, dibagi dua lagi" seperti ini sangat mudah kalau siklusnya pendek. Sama halnya jika kamu ditanya: "Ada 100 gram zat, dan menyusut separuhnya tiap 3 jam. Berapa sisanya di jam ke-6?"

Tentu instingmu langsung menjawab $25$ gram, karena kamu tahu itu melewati tepat 2 kali siklus penyusutan ($100 \rightarrow 50 \rightarrow 25$). Tapi, bagaimana jika rentang waktunya lebih membingungkan dan tidak berawal dari nol? Di sinilah kita butuh satu langkah tambahan untuk menjembatani durasi waktu.

Jembatan Waktu: Dari Jam ke Fase

Di soal yang kamu kerjakan, peluruhan zat diamati dari pukul 06.00 sampai 16.00. Kamu juga tahu waktu paruhnya adalah 2 jam.

Banyak yang terjebak dan bingung, "Angka mana yang dimasukkan ke perhitungan? Apakah 10 jam atau 16 jam?" Jawabannya bukan keduanya! Dalam fungsi peluruhan, yang penting bukanlah jam di dinding, melainkan berapa kali zat itu mengalami siklus penyusutan. Kita menyebut banyaknya siklus ini sebagai fase (atau $n$).

Coba bayangkan kamu menyetel alarm untuk minum obat yang harus berbunyi tiap 2 jam sekali.

1. Hitung dulu total waktu yang berjalan: Dari 06.00 hingga 16.00, durasinya adalah 10 jam.

2. Cari tahu jumlah fase-nya: Jika alarm bunyi tiap 2 jam, maka dalam selang 10 jam itu alarm akan berbunyi sebanyak $10 \div 2 = 5$ kali.

Itulah alasan kenapa zat tersebut mengalami tepat 5 kali kejadian penyusutan (5 fase peluruhan)! Kita wajib mencari tahu jumlah lompatan fasenya sebelum repot-repot menghitung sisa gramnya.

Merakit Pangkat Eksponensial

Sekarang kita tahu bahwa zat $1.600$ gram tadi harus dipotong separuh sebanyak 5 kali berurutan. Kalau dihitung manual satu per satu: $1.600 \rightarrow 800 \rightarrow 400 \rightarrow 200 \rightarrow 100 \rightarrow 50$.

Tapi, bagaimana jika selang waktunya sangat lama sehingga zatnya menyusut 30 kali? Jari kita tentu bisa keriting kalau harus mendaftar semua! Di sinilah keajaiban fungsi eksponensial mengambil peran.

Perkalian dengan $\frac{1}{2}$ secara berulang sebanyak 5 kali bisa kita tulis jauh lebih ringkas menggunakan pangkat (eksponen), yaitu: $\left(\frac{1}{2}\right)^5$. Pangkat inilah yang secara harfiah mewakili jumlah fase yang sudah kita temukan di halaman sebelumnya!

Gambar: Andrew Fraknoi, David Morrison, and Sidney Wolff, CC BY 4.0 — Wikimedia Commons

Jadi, kita bisa merakit rumus akhirnya seperti ini: $\text{Sisa Zat} = \text{Awal} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\text{Fase}}$

Untuk kasus soalmu tadi: $\text{Sisa} = 1.600 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$ $\text{Sisa} = 1.600 \times \frac{1}{32} = 50$ gram.