Trik Kotak Rahasia SPLDV Pecahan

Menyembunyikan Pecahan

Bentuk pecahan yang rumit bisa kita bungkus sementara dalam satu variabel baru agar persamaannya tampak biasa.

Ilustrasi dua kelompok barang yang dimasukkan ke dalam dua kotak penyimpanan berlabel huruf p dan q di atas meja kerja yang rapi.

Bayangkan mejamu sedang penuh dengan kabel yang berantakan. Mengurai kabel satu per satu langsung di atas meja sering bikin pusing. Strategi yang jauh lebih praktis adalah memasukkan kabel-kabel itu ke dalam dua wadah rapi: sebut saja Kotak Rahasia berlabel $p$ dan $q$. Begitu masuk kotak, mejamu langsung kelihatan bersih dan teratur.

Hal serupa berlaku pada persamaan pecahan aljabar. Saat melihat bentuk $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = 12$, kita tidak perlu buru-buru menyamakan penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan $xy$. Mengalikan dengan variabel penyebut justru bisa memunculkan suku perkalian silang $xy$ yang mengubah persamaan menjadi non-linear dan semakin rumit. Sebaliknya, kita cukup membungkus pecahan tersebut:

$$\text{Kotak } p = \frac{3}{x} \quad \text{dan} \quad \text{Kotak } q = \frac{6}{y}$$

Dengan pemisalan tersebut, persamaan pertama yang awalnya tampak menakutkan berubah drastis menjadi:

$$p + q = 12$$

Merapikan Persamaan Kedua

Bentuk pecahan yang angkanya berbeda tetap bisa dimasukkan ke 'Kotak Rahasia' dengan sedikit manipulasi pecahan.

Persamaan kedua pada soal adalah:

$$-\frac{4}{x} + \frac{12}{y} = 44$$

Sekilas, pecahan $-\frac{4}{x}$ tampak berbeda dengan kotak kita ($p = \frac{3}{x}$). Jangan khawatir, kita tidak butuh kotak baru! Kita cukup mencari faktor pengali agar bentuk $\frac{3}{x}$ muncul:

$$-\frac{4}{x} = -\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{3}{x}\right) = -\frac{4}{3}p$$

Begitu pula dengan bagian kedua, yaitu $\frac{12}{y}$. Karena kotak kita adalah $q = \frac{6}{y}$, kita dapat menuliskan:

$$\frac{12}{y} = 2 \cdot \left(\frac{6}{y}\right) = 2q$$

Sekarang susun ulang persamaan kedua memakai variabel $p$ dan $q$:

$$-\frac{4}{3}p + 2q = 44$$

Kedua persamaan kita kini telah berubah menjadi SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) murni tanpa ada variabel yang tersangkut di penyebut.

Jika kita memiliki permisalan $r = \frac{5}{z}$, bagaimanakah bentuk $\frac{15}{z}$ dinyatakan dalam variabel $r$?

  • 3r
  • r/3
  • 10r
  • 15r

Jawaban: 3r

Bentuk 15/z sama dengan 3 × (5/z). Karena r = 5/z, maka bentuk tersebut menjadi 3r. Opsi B salah karena membagi bukannya mengali; opsi C salah karena mengurangkan angka pembilang; sedangkan opsi D salah karena menempelkan r tanpa membagi dengan angka pembilang awal.

Memanipulasi bentuk pecahan agar cocok dengan bentuk permisalan variabel baru.

Mengingat Alur Substitusi

SPLDV bisa diselesaikan dengan mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk 'variabel tunggal', lalu memasukkannya ke persamaan lainnya.

Dari dua persamaan kotak yang kita miliki, persamaan pertama ($p + q = 12$) adalah yang paling sederhana. Kita ubah agar satu variabel berdiri sendiri di satu ruas:

$$p = 12 - q$$

Langkah berikutnya adalah substitusi: gantikan setiap $p$ pada persamaan kedua dengan $(12 - q)$. Dengan begitu, persamaan kedua hanya memuat satu jenis variabel, yaitu $q$:

$$-\frac{4}{3}(12 - q) + 2q = 44$$

Sekarang kita selesaikan aljabarnya secara bertahap:

$$\begin{aligned} -16 + \frac{4}{3}q + 2q &= 44 \\ \frac{10}{3}q &= 44 + 16 \\ \frac{10}{3}q &= 60 \\ q &= 60 \cdot \frac{3}{10} = 18 \end{aligned}$$

Setelah mendapatkan nilai $q = 18$, masukkan kembali ke rumus $p = 12 - q$:

$$p = 12 - 18 = -6$$