Pembuktian Paritas Aljabar secara Formal

Aksioma Koefisien vs Variabel

Pernah gak kamu lihat suku aljabar kayak $3n$ dan langsung mikir, "Oh, 3 itu angka ganjil, berarti $3n$ pasti ganjil!"? Kalau iya, wajar banget, ini miskonsepsi yang super umum.

Sebenarnya, sifat ganjil/genap (paritas) dari sebuah suku tidak mutlak diwariskan dari koefisiennya. Kita harus ingat aturan dasar perkalian bilangan.

Kalau koefisiennya genap (misal $8n^3$ atau $4n$): Suku ini PASTI genap, berapapun nilai $n$. Kenapa? Karena angka genap sudah mengandung faktor $2$. Sesuatu yang dikali kelipatan $2$, hasilnya mutlak kelipatan $2$ (genap). Genap $\times$ Apapun $=$ Genap.
Kalau koefisiennya ganjil (misal $3n$ atau $7n^2$): Sifatnya bergantung pada variabelnya. Angka ganjil tidak punya kekuatan buat "memaksa" hasilnya jadi ganjil.
- Jika $n$ genap, maka Ganjil $\times$ Genap = Genap (contoh: $3 \times 2 = 6$).
- Jika $n$ ganjil, maka Ganjil $\times$ Ganjil = Ganjil (contoh: $3 \times 3 = 9$).

Manakah dari pernyataan berikut yang selalu benar untuk setiap bilangan bulat $n$?

A. 7n pasti ganjil, 4n pasti genap
B. 7n pasti genap, 4n bisa ganjil atau genap
C. 7n bisa ganjil atau genap, 4n pasti genap
D. 7n dan 4n keduanya bisa ganjil atau genap

Jawaban: C. 7n bisa ganjil atau genap, 4n pasti genap

Koefisien 4 (genap) menjamin hasilnya genap (mengandung faktor 2). Koefisien 7 (ganjil) tidak mengubah paritas $n$, sehingga hasilnya bergantung pada $n$.

Suku dengan koefisien ganjil bisa bernilai genap atau ganjil tergantung variabelnya, sedangkan koefisien genap selalu menghasilkan nilai genap.

Menguji Paritas dengan Analisis Kasus

Di halaman sebelumnya, kita tahu bahwa suku dengan koefisien ganjil seperti $3n$ sifatnya "bunglon"—bisa ganjil, bisa genap. Terus, gimana cara kita ngebuktiin bahwa sebuah ekspresi panjang itu tidak selalu punya sifat yang tetap?

Caranya adalah dengan analisis kasus (uji paritas). Karena bilangan bulat cuma punya dua kelompok (genap atau ganjil), kita cukup membagi skenario menjadi dua kasus tersebut.

Mari kita bongkar ekspresi $8n^3 + 3n + 1$:

Suku $8n^3$ pasti Genap (koefisien genap).
Konstanta $1$ pasti Ganjil.
Suku $3n$ adalah penentunya.

Kita uji kasusnya:

Kasus 1: Misal $n$ genap. Maka $3n$ jadi Genap. Bentuknya menjadi Genap $+$ Genap $+$ Ganjil $=$ Ganjil.
Kasus 2: Misal $n$ ganjil. Maka $3n$ jadi Ganjil. Bentuknya menjadi Genap $+$ Ganjil $+$ Ganjil $=$ Genap.

Karena ada kasus yang menghasilkan Genap, terbukti bahwa $8n^3 + 3n + 1$ tidak selalu menghasilkan bilangan ganjil.

Tentukan apakah pernyataan mengenai metode analisis kasus ini Benar atau Salah!

Untuk membuktikan sebuah ekspresi tidak selalu genap, cukup temukan satu kasus di mana hasilnya ganjil. — Benar
Jika kita menguji n=1 dan hasilnya ganjil, itu sudah membuktikan ekspresi tersebut selalu ganjil untuk semua n. — Salah
Membagi kasus menjadi n genap dan n ganjil sudah mencakup seluruh bilangan bulat. — Benar

Analisis kasus menuntut kita menguji n genap dan n ganjil. Jika satu saja kasus tidak memenuhi klaim, klaim tersebut salah secara keseluruhan. Mencoba satu angka spesifik (misal n=1) kadang mengecoh jika tidak mewakili semua kasus.

Pembuktian analisis kasus cukup dengan menguji paritas n=genap dan n=ganjil; satu kasus yang menghasilkan nilai berbeda sudah cukup menjadi counterexample.

Pembuktian Mutlak: Menarik Faktor 2

Kalau analisis kasus dipakai buat membuktikan sesuatu itu salah (tidak selalu konstan), gimana cara membuktikan sebuah ekspresi mutlak selalu ganjil tanpa harus ngetes angka satu-satu?

Kuncinya ada di definisi formal bilangan genap dan ganjil.

Genap adalah semua bilangan yang punya bentuk $2k$ (di mana $k$ adalah sembarang bilangan bulat).
Ganjil adalah semua bilangan yang punya bentuk $2k + 1$ (atau ditambah bilangan ganjil berapapun).

Trik pamungkasnya adalah merekayasa bentuk aljabar dengan menarik keluar angka 2 dari suku-suku bervariabel.

Coba kita lihat ekspresi $6n^3 - 4n + 9$.

Kita lihat suku yang ada variabelnya: $6n^3 - 4n$. Keduanya kelipatan 2, kan?
Tarik keluar angka 2: $2(3n^3 - 2n) + 9$.
Nah, karena bilangan bulat itu sifatnya tertutup (ditambah/dikali sesama bilangan bulat hasilnya pasti bulat juga), maka $(3n^3 - 2n)$ pasti menghasilkan sebuah bilangan bulat. Kita anggap saja namanya $k$.
Strukturnya berubah jadi cantik: $2k + 9$.

Secara definisi, $2k$ itu PASTI Genap. Ditambah $9$ yang Ganjil, hasilnya mutlak menghasilkan bilangan ganjil, berapapun nilai $n$-nya!

Berdasarkan konsep penarikan faktor 2, bentuk mana di bawah ini yang mutlak selalu menghasilkan bilangan ganjil berapapun nilai $m$ (bilangan bulat)?

A. 2(2m^2 - 1) + 2
B. 2(2m^2 - m) + 7
C. 4(m^2 - m) + 4
D. m(2m - 1) + 3

Jawaban: B. 2(2m^2 - m) + 7

Bentuk B bisa ditulis sebagai 2k + 7 (dengan k = 2m^2 - m). Karena 2k selalu genap dan 7 ganjil, maka hasilnya mutlak ganjil. Bentuk lainnya tidak menjamin struktur 2k + Ganjil.

Bentuk 2k + bilangan ganjil adalah bukti mutlak bahwa suatu ekspresi selalu menghasilkan bilangan ganjil.