Dari Cerita Menjadi Aljabar: Mengurai SPLTV

Dari Belanjaan ke Aljabar

Langkah pertama menyelesaikan soal cerita adalah membuat pemisalan agar kalimat panjang menjadi persamaan ringkas.

Bayangkan kamu sedang bekerja di mesin kasir toko alat tulis. Agar pencatatan di struk belanja tidak memakan banyak tempat, setiap jenis barang diberi kode huruf yang disebut variabel:

$x$ mewakili harga $1$ buku tulis
$y$ mewakili harga $1$ pensil
$z$ mewakili harga $1$ bolpoin

Angka yang menunjukkan jumlah barang disebut koefisien. Ketika kita menggabungkan beberapa persamaan linear yang memuat tiga variabel sekaligus, bentuk tersebut dinamakan SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel).

Diagram pemetaan barang belanjaan ke variabel x, y, z dan struk belanjaan Andi, Budi, dan Cici.

Dari daftar belanjaan Andi, Budi, dan Cici, kita bisa menyusun tiga persamaan aljabar berikut:

Belanjaan Andi: $3$ buku, $2$ pensil, dan $3$ bolpoin berharga Rp21.000,00.
$$3x + 2y + 3z = 21.000 \quad \text{--- (Persamaan 1)}$$
Belanjaan Budi: $2$ buku dan $3$ pensil berharga Rp11.500,00.
$$2x + 3y = 11.500 \quad \text{--- (Persamaan 2)}$$
Belanjaan Cici: $4$ pensil dan $3$ bolpoin berharga Rp13.500,00.
$$4y + 3z = 13.500 \quad \text{--- (Persamaan 3)}$$

Target akhir kita adalah menghitung struk belanja Dito, yaitu $2$ buku tulis, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin:

$$\text{Total Dito} = 2x + y + z$$

Nisa membeli 2 penggaris dan 1 penghapus dengan total harga Rp4.000,00. Jika harga 1 penggaris dimisalkan p dan harga 1 penghapus dimisalkan h, manakah bentuk persamaan aljabar yang tepat?

2p + h = 4.000
p + 2h = 4.000
2p = 4.000 + h
3(p + h) = 4.000

Jawaban: 2p + h = 4.000

Jumlah 2 penggaris diwakili oleh 2p dan 1 penghapus diwakili oleh h. Karena dibeli bersamaan dengan total harga Rp4.000, model aljabarnya adalah 2p + h = 4.000 (Opsi A). Opsi B tertukar koefisiennya, Opsi C salah tanda ruas, dan Opsi D salah mengelompokkan kuantitas.

Menerjemahkan deskripsi barang dan harga ke dalam persamaan linear satu baris secara tepat

Strategi Menyingkirkan Variabel

Kunci SPLTV adalah mengeliminasi satu variabel tertentu untuk mengubahnya menjadi persamaan dua variabel.

Coba amati struk belanja Budi (Persamaan 2):

$$2x + 3y = 11.500$$

Persamaan ini sangat menguntungkan karena tidak memuat variabel $z$ (bolpoin). Artinya, kita hanya butuh satu persamaan lagi yang juga hanya memuat variabel $x$ dan $y$. Jika persamaan itu berhasil kita dapatkan, kita bisa memasangkannya langsung dengan milik Budi!

Untuk menyingkirkan variabel $z$, kita amati Persamaan 1 (Andi) dan Persamaan 3 (Cici). Keduanya sama-sama memiliki suku $+3z$. Dengan melakukan eliminasi (mengurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 3), suku $3z$ akan saling meniadakan ($3z - 3z = 0$).

Pengurangan vertikal Persamaan 1 dengan Persamaan 3 untuk mengeliminasi variabel z.

Mari kita hitung pengurangannya secara teliti:

$$(3x + 2y + 3z) - (4y + 3z) = 21.000 - 13.500$$

$$3x + (2y - 4y) + (3z - 3z) = 7.500$$

$$3x - 2y = 7.500 \quad \text{--- (Persamaan 4)}$$

Mencari Harga Satuan

Dua persamaan sejenis dapat dieksekusi dengan eliminasi dan substitusi berantai untuk mendapatkan nilai tiap variabel.

Sekarang kita memiliki dua persamaan yang sama-sama hanya memuat $x$ dan $y$:

$2x + 3y = 11.500$
$3x - 2y = 7.500$

Kita samakan koefisien $y$ agar dapat dieliminasi. Kalikan persamaan atas dengan $2$ dan persamaan bawah dengan $3$:

$$\begin{aligned} 2x + 3y = 11.500 \quad (\times 2) &\implies 4x + 6y = 23.000 \\ 3x - 2y = 7.500 \quad (\times 3) &\implies 9x - 6y = 22.500 \end{aligned}$$

Karena tanda pada suku $y$ berlawanan ($+6y$ dan $-6y$), kita jumlahkan kedua baris:

$$\begin{aligned} (4x + 9x) + (6y - 6y) &= 23.000 + 22.500 \\ 13x &= 45.500 \\ x &= \frac{45.500}{13} = 3.500 \end{aligned}$$

Harga $1$ buku tulis ($x$) adalah Rp3.500,00.

Selanjutnya, lakukan substitusi (mengganti huruf dengan angka yang sudah diketahui) secara berantai:

Masukkan $x = 3.500$ ke persamaan $2x + 3y = 11.500$:
$$2(3.500) + 3y = 11.500$$
$$7.000 + 3y = 11.500$$
$$3y = 11.500 - 7.000 = 4.500 \implies y = 1.500$$
Harga $1$ pensil ($y$) adalah **Rp1.500,00**.
Masukkan $y = 1.500$ ke persamaan Cici ($4y + 3z = 13.500$):
$$4(1.500) + 3z = 13.500$$
$$6.000 + 3z = 13.500$$
$$3z = 13.500 - 6.000 = 7.500 \implies z = 2.500$$
Harga $1$ bolpoin ($z$) adalah **Rp2.500,00**.

Diketahui x = 3.500 dan terdapat persamaan 2x + 3y = 11.500. Evaluasi kebenaran dari setiap pernyataan berikut:

Nilai dari 2x pada persamaan tersebut adalah 7.000. — Benar
Nilai y langsung bisa didapat dengan mengurangkan 11.500 dengan 3.500. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena 2x = 2(3.500) = 7.000. Pernyataan 2 Salah karena untuk mencari nilai y, kita harus mengurangkan 11.500 dengan 2x (yaitu 7.000), menghasilkan 3y = 4.500, lalu membaginya dengan 3 sehingga y = 1.500. Kita tidak bisa langsung mengurangkan nilai total dengan x saja.

Melakukan substitusi nilai variabel ke dalam persamaan aljabar dengan urutan operasi yang benar