Pertumbuhan Penduduk: Geometri atau Aritmetika?
Penambahan Tetap vs Persentase Tetap
Laju pertumbuhan persentase tidak menghasilkan penambahan nominal orang yang tetap setiap tahunnya. Bayangkan kamu menabung di bank dengan bunga majemuk $2$ per tahun. Pada tahun pertama, bunga dihitung dari saldo awal. Namun di tahun kedua, bunga $2$ dihitung dari saldo baru yang sudah menggelembung—sehingga uang tambahan yang kamu peroleh di tahun kedua bernilai lebih besar daripada tahun pertama.
Hal serupa terjadi pada populasi kota:
Awal 2020 ke awal 2021 (Tahun ke-1): Penambahan penduduk adalah $2 \times 200.000 = 4.000$ jiwa (menjadikan Opsi E benar). Populasi menjadi $204.000$ jiwa.
Awal 2021 ke awal 2022 (Tahun ke-2): Penambahan dihitung dari basis baru, yaitu $2 \times 204.000 = 4.080$ jiwa.
Karena penambahan nominalnya bertambah terus ($4.000$, lalu $4.080$, dan seterusnya), pola ini memiliki beda yang tidak tetap sehingga bukan barisan aritmetika ataupun deret aritmetika (menjadikan Opsi C salah). Sebaliknya, karena setiap tahun populasinya dikalikan dengan faktor pengali tetap ($1 + 0,02 = 1,02$), model ini merupakan barisan geometri (menjadikan Opsi A benar).
Sebuah kota memiliki laju penurunan populasi 5% per tahun. Kota lain kehilangan tepat 5.000 penduduk setiap tahun. Mana dari kedua situasi tersebut yang dapat dimodelkan menggunakan barisan geometri?
- Hanya kota pertama
- Hanya kota kedua
- Keduanya
- Tidak ada satu pun
Jawaban: Hanya kota pertama
Kota pertama mengalami perubahan dengan persentase tetap (5% per tahun), yang berarti jumlah penduduk tiap tahun dikalikan dengan faktor pengali tetap 0,95 (barisan geometri). Kota kedua kehilangan jumlah orang yang konstan (5.000 jiwa per tahun), yang merupakan ciri barisan aritmetika dengan beda tetap -5.000.
Membedakan situasi yang cocok untuk deret aritmetika vs geometri
Rumus Instan dengan Pangkat
Mencari nilai setelah beberapa tahun dengan rasio pertumbuhan bisa dipersingkat menggunakan pangkat. Jika kita menghitung populasi langkah demi langkah setiap tahun, perhitungannya akan memakan waktu lama ketika rentang tahunnya panjang. Untungnya, sifat perkalian berulang memberi kita jalan pintas yang rapi.
Pertumbuhan sebesar $2$ berarti setiap tahun populasi menjadi $100 + 2 = 102$, atau dikalikan faktor $1,02$ dari jumlah tahun sebelumnya.
Perhatikan pola perkalian di atas:
Awal 2020: $200.000$ jiwa.
Awal 2021 (setelah 1 tahun): $200.000 \times 1,02$.
Awal 2022 (setelah 2 tahun): $(200.000 \times 1,02) \times 1,02 = 200.000 \times (1,02)^2$ jiwa. Bentuk ini persis membuktikan kebenaran Opsi B.
Secara umum, untuk mengetahui jumlah penduduk setelah $n$ tahun, kita cukup mengalikan nilai awal dengan $(1,02)^n$.
Uang sejumlah Rp1.000.000 diinvestasikan dengan keuntungan majemuk 5% per tahun. Tanpa ada penarikan, manakah ekspresi matematika yang tepat untuk menghitung total tabungan tersebut pada akhir tahun ke-4?
- 1.000.000 × 1,20
- 1.000.000 × (1,05)^4
- 1.000.000 + (1,05)^4
- 1.000.000 × (0,05)^4
Jawaban: 1.000.000 × (1,05)^4
Keuntungan majemuk 5% per tahun berarti setiap tahun nilai tabungan dikalikan dengan faktor (1 + 0,05) = 1,05. Setelah 4 tahun berturut-turut tanpa penarikan, faktor 1,05 dikalikan sebanyak 4 kali sehingga menjadi 1.000.000 × (1,05)^4. Opsi A keliru karena menganggap bunga tunggal (5% × 4 = 20%), sedangkan opsi D hanya menghitung porsi bunganya tanpa menyertakan saldo pokok.
Menyusun ekspresi eksponensial dari laju pertumbuhan persentase tertentu
Mengapa Nilainya Melampaui Bunga Tunggal
Pertumbuhan berbasis persentase selalu memberikan hasil akhir yang sedikit lebih besar daripada perkalian sederhana. Mari kita tinjau kondisi pada awal tahun 2023, yaitu $3$ tahun sejak awal 2020. Menggunakan rumus yang sudah kita temukan, populasi kota tersebut adalah $200.000 \times (1,02)^3$ jiwa.
Jika seseorang memperkirakan kenaikan secara perkalian sederhana (seperti bunga tunggal), ia mungkin hanya menghitung $2 \times 3 \text{ tahun} = 6$, sehingga menduga faktor pertumbuhannya sekadar $1,06$ atau bernilai $200.000 \times 1,06$.
Namun, karena setiap tahun persentase dihitung dari saldo yang sudah bertambah, efek bunga majemuk mulai bekerja:
Di tahun pertama, pertumbuhannya $2$.
Di tahun kedua, pertumbuhan $2$ menghasilkan angka yang lebih besar karena dasarnya sudah naik.
Di tahun ketiga, penambahannya makin membesar lagi.
Akumulasi ini membuat hasil perkalian berulang $(1,02)^3$ bernilai tepat $1,061208$. Angka ini melampaui $1,06$, sehingga terbukti bahwa jumlah penduduk pada awal 2023 lebih besar dari $200.000 \times 1,06$ jiwa. Hal ini memastikan Opsi D bernilai benar.
Dua investasi awal masing-masing Rp10.000.000. Investasi A menggunakan bunga tunggal 10% per tahun selama 2 tahun (total bunga 20%, saldo menjadi Rp12.000.000). Investasi B menggunakan pertumbuhan eksponensial dengan laju 10% per tahun selama 2 tahun. Tentukan kebenaran pernyataan berikut terkait Investasi B:
- Nilai akhir Investasi B pasti lebih besar dari Rp12.000.000. — Benar
- Nilai pertumbuhan tahun kedua pada Investasi B persis sama dengan tahun pertama. — Salah
Pernyataan pertama Benar karena faktor pengali Investasi B adalah (1 + 0,10)^2 = (1,10)^2 = 1,21, menghasilkan saldo Rp12.100.000 (lebih besar dari Rp12.000.000). Pernyataan kedua Salah karena pada pertumbuhan eksponensial, pertumbuhan tahun kedua dihitung dari saldo yang sudah bertambah di tahun pertama, sehingga nominal bunganya (Rp1.100.000) lebih besar daripada tahun pertama (Rp1.000.000).
Memahami bahwa perhitungan pangkat (bunga majemuk) akan menghasilkan nilai yang lebih besar ketimbang perkalian rasio dengan waktu (bunga tunggal)