Jarak Dua Garis Sejajar: Bukti Formal & Alternatif

Mungkinkah Dua Fungsi Punya 'Satu' Jarak?

Pernahkah kamu membayangkan bagaimana dua garis fungsi bisa memiliki "jarak"? Pertanyaan mendasar saat melihat soal yang mengatakan "jarak antar kedua fungsi adalah $a$" adalah: emangnya jaraknya nggak berubah-ubah?

Cobalah perhatikan visual di atas. Kalau kamu membuat kedua garis memiliki kemiringan (gradien) yang berbeda, garis-garis putus-putus yang tegak lurus itu panjangnya beda-beda, kan? Ada yang pendek saat garisnya mau berpotongan, dan makin panjang saat menjauh. Jaraknya tidak konstan.

Tapi, begitu kamu menyamakan gradiennya persis, keajaiban terjadi. Semua garis tegak lurus itu jadi sama panjang di titik mana pun kamu mengukurnya!

Jadi, kalimat di soal "jarak antar kedua fungsi adalah $a$" (satu angka konstan) sebenarnya adalah kode rahasia yang memastikan bahwa fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ itu pasti sejajar. Kalau nggak sejajar, soal ini mustahil punya satu jawaban jarak pasti.

Membedah Posisi Garis Lewat Aljabar

Kita sudah dapat intuisi bahwa kedua fungsi itu pasti sejajar. Tapi di matematika, kita harus membuktikannya. Bagaimana cara membandingkan posisi garis $f(x) = 2x + 3$ dan $g(x) = \frac{4x - 9}{2}$ secara adil?

Bentuk fungsi $f(x)$ kita ubah dulu (ingat, $f(x)$ itu sama dengan $y$): $y = 2x + 3$ Pindah ruas agar satu sisi menjadi nol: $2x - y + 3 = 0$

Sekarang fungsi $g(x)$: $y = \frac{4x - 9}{2}$ Bagi masing-masing suku pembilang dengan 2: $y = 2x - 4{,}5$ Pindah ruas lagi: $2x - y - 4{,}5 = 0$

Lihat bagian yang disorot! Koefisien variabel $x$ (yaitu $A$) dan koefisien variabel $y$ (yaitu $B$) pada kedua persamaan ternyata sama persis, yaitu $A=2$ dan $B=-1$.

Nilai $A$ dan $B$ inilah yang menyimpan DNA kemiringan (gradien) suatu garis. Karena komponen $A$ dan $B$ kembarnya identik, ini bukti tak terbantahkan secara aljabar bahwa kedua garis itu sejajar, menopang intuisi kita sebelumnya.

Dari Mana Datangnya $\sqrt{A^2 + B^2}$?

Kamu mungkin pernah lihat rumus jarak di geometri analitik, dan selalu ada pembagian dengan $\sqrt{A^2 + B^2}$. Angka ini bukan kebetulan atau hasil coba-coba, lho.

Ingat bahwa untuk mengukur jarak terpendek, kita butuh "arah" yang tegak lurus dengan garis tersebut. Dalam dunia vektor, koefisien $(A, B)$ dari persamaan $Ax + By + C = 0$ secara otomatis membentuk sebuah vektor yang disebut vektor normal. Vektor ini arahnya selalu tegak lurus dengan garisnya!

Ketika kita menghitung jarak tegak lurus dari sebuah titik ke garis, kita pada dasarnya mengukur selisih posisi, lalu "membaginya" (menormalisasi) dengan panjang dari vektor tegak lurus ini. Itulah sebabnya penyebut $\sqrt{A^2 + B^2}$ selalu eksis menemani rumus jarak!