Formalitas Domain Operasi Fungsi
Aksioma Daerah Asal Fungsi
Daerah asal (domain) suatu fungsi, jika tidak dinyatakan spesifik, adalah himpunan semua bilangan real di mana fungsi tersebut terdefinisi nilainya secara riil.
Secara formal, daerah asal (domain) suatu fungsi $f: A \to B$ adalah himpunan semua nilai input $x \in A$ yang sah sehingga menghasilkan output $f(x)$ yang nyata di dalam himpunan bilangan real $\mathbb{R}$. Apabila suatu fungsi aljabar tidak memuat operasi yang terlarang di ranah real—seperti pembagian dengan penyebut nol atau penarikan akar berindeks genap dari bilangan negatif—maka fungsi tersebut secara alami memiliki domain berupa seluruh garis bilangan real $\mathbb{R}$ (atau interval $(-\infty, \infty)$).
Dalam analogi Hukum Yurisdiksi Wilayah, bayangkan garis bilangan sebagai sebuah jalan raya tak terbatas lintas negara. Jika tidak terdapat rambu pembatas seperti jembatan putus (penyebut bernilai nol) atau batas wilayah terlarang (akar bilangan negatif), maka kendaraan bebas melintas dari ujung paling negatif hingga ujung paling positif tak terhingga. Sebagai contoh, fungsi linier $f(x) = 2x + 1$ dapat menerima nilai input $x$ berapa pun tanpa hambatan kalkulasi matematika, sehingga daerah asalnya mencakup seluruh bentang jalan tersebut tanpa terkecuali.
Anatomi Himpunan Fungsi Sepotong
Daerah asal fungsi piecewise dibentuk dari gabungan (union) seluruh interval syarat batas tempat fungsi tersebut diberlakukan.
Fungsi piecewise adalah fungsi yang definisinya terbagi menjadi beberapa aturan berbeda (sepotong-sepotong) pada interval input yang berlainan. Pada soal, fungsi $f(x)$ memiliki dua cabang yurisdiksi aturan:
$$f(x) = \begin{cases} -3, & \text{jika } x \le -1 \\ x, & \text{jika } x > -1 \end{cases}$$
Untuk menentukan daerah asal total dari $f(x)$, kita tidak memilih salah satu cabangnya saja, melainkan menggabungkan (union) seluruh wilayah berlakunya aturan tersebut secara himpunan:
$$D_f = \{x \mid x \le -1\} \cup \{x \mid x > -1\}$$
Karena interval $(-\infty, -1]$ tepat bertemu dan bersambung dengan interval $(-1, \infty)$ di titik pemisah $x = -1$, gabungan kedua interval ini menutupi seluruh garis bilangan real, sehingga $D_f = \mathbb{R}$.
Eksplorasi interaktif di atas memperlihatkan bagaimana potongan interval aturan pertama dan kedua menyatu tanpa celah di titik $x = -1$. Prinsip aljabar himpunan ini juga berlaku sama persis untuk fungsi $g(x)$:
$$g(x) = \begin{cases} 3, & \text{jika } x < 1 \\ 2x^2 + x, & \text{jika } x \ge 1 \end{cases}$$
Dengan menghitung gabungan syarat batasnya, kita peroleh:
$$D_g = \{x \mid x < 1\} \cup \{x \mid x \ge 1\} = (-\infty, 1) \cup [1, \infty) = \mathbb{R}$$
Sebuah fungsi piecewise h(x) didefinisikan dengan cabang aturan saat x < 5 dan cabang aturan lain saat x >= 5. Manakah representasi yang benar mengenai daerah asal total fungsi h(x) tersebut?
- Seluruh himpunan bilangan real karena gabungan dari bagian x < 5 dan x >= 5 menutupi semua kemungkinan.
- Hanya bilangan real yang kurang dari 5 karena aturan pertama yang tertulis menjadi acuan utama.
- Hanya bilangan 5 itu sendiri karena titik pemisah tersebut menjadi tumpuan batas fungsi.
- Tidak dapat ditentukan karena fungsi tersebut terdiri dari dua cabang rumus yang terpisah.
Jawaban: Seluruh himpunan bilangan real karena gabungan dari bagian x < 5 dan x >= 5 menutupi semua kemungkinan.
Daerah asal total suatu fungsi piecewise adalah gabungan (union) dari interval syarat seluruh cabangnya. Gabungan dari himpunan x < 5 dan x >= 5 adalah himpunan seluruh bilangan real tanpa ada celah yang terlewat.
Gabungan interval dari semua aturan fungsi piecewise menghasilkan daerah asal totalnya.
Logika Irisan Domain Dua Fungsi
Daerah asal dari operasi aljabar antara dua fungsi (seperti penjumlahan, pengurangan, atau perkalian) selalu merupakan irisan (intersection) dari daerah asal masing-masing fungsi penyusunnya.
Ketika dua buah fungsi dikombinasikan melalui operasi pengurangan $(f - g)(x)$, definisinya dijabarkan sebagai evaluasi simultan pada input yang sama:
$$(f - g)(x) = f(x) - g(x)$$
Agar operasi aljabar ini sah dan menghasilkan output real, nilai input $x$ wajib terdefinisi pada mesin $f$ sekaligus terdefinisi pada mesin $g$. Jika suatu angka $x$ hanya valid untuk salah satu fungsi tetapi tidak memiliki nilai pada fungsi pasangannya, maka operasi selisih tersebut mustahil dihitung.
Kembali ke analogi Hukum Yurisdiksi Wilayah: ketika dua otoritas ($f$ dan $g$) menyelenggarakan sebuah proyek bersama, proyek tersebut hanya dapat berlangsung di atas bentang jalan yang sama-sama berada di bawah wewenang sah kedua pihak. Secara simbolik, daerah asal operasi fungsi dirumuskan sebagai himpunan irisan:
$$D_{f - g} = D_f \cap D_g$$
Sebagai ilustrasi kontras, andaikan kita mengurangkan fungsi akar $p(x) = \sqrt{x}$ (yang memiliki $D_p = [0, \infty)$) dengan fungsi kuadrat $q(x) = x^2$ (yang memiliki $D_q = \mathbb{R}$). Daerah asal $(p - q)(x)$ dibatasi ketat oleh irisan keduanya, yaitu $[0, \infty) \cap \mathbb{R} = [0, \infty)$. Nilai negatif seperti $x = -4$ gugur karena mesin $p(-4)$ gagal beroperasi di ranah real.
Misalkan fungsi p(x) terdefinisi untuk interval x > 0 dan fungsi q(x) terdefinisi untuk interval x < 10. Tentukan kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut mengenai daerah asal dari fungsi hasil perkalian (p · q)(x):
- Daerah asalnya adalah irisan dari syarat x > 0 dan x < 10. — Benar
- Daerah asalnya mencakup semua bilangan yang valid untuk setidaknya salah satu fungsi saja. — Salah
Operasi aljabar seperti perkalian membutuhkan input yang sah pada kedua fungsi sekaligus (D_(p*q) = D_p irisan D_q). Jika suatu input hanya valid untuk satu fungsi saja, maka fungsi pasangannya gagal menghasilkan output real sehingga operasi tidak dapat dievaluasi.
Operasi dua fungsi menuntut input yang sah di kedua domain penyusunnya (irisan).