Membaca Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Fondasi dan Bukaan Kurva

Titik potong sumbu-y secara langsung menentukan nilai $c$, sedangkan arah bukaan kurva dari puncak menentukan nilai $a$.

Bayangkan grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ seperti kawat melengkung yang ditempelkan ke dinding. Ketika kurva menabrak sumbu-y (dinding vertikal), nilai koordinat horizontalnya adalah $x = 0$. Jika kita masukkan ke fungsi, diperoleh $f(0) = c$. Artinya, nilai $c$ berperan sebagai paku tempat kawat menempel pada dinding sumbu-y. Karena soal menyatakan grafik memotong sumbu-y positif, maka paku penahan kawat tersebut berada di atas sumbu-x, sehingga $c > 0$.

Sekarang, perhatikan posisi titik puncaknya. Titik puncak berada di Kuadran II (area kiri atas pada bidang koordinat, di mana $x$ bernilai negatif dan $y$ bernilai positif). Dari puncak tertinggi ini, kawat kurva bergerak ke arah kanan menuju dinding sumbu-y dan menabrak paku $c$ di area positif. Agar kurva yang bermula dari titik puncak bisa turun menabrak dinding sumbu-y, kawat parabola tersebut harus melengkung ke bawah.

Lengkungan kawat yang membuka ke bawah menandakan bahwa nilai koefisien $a$ bernilai negatif ($a < 0$). Fakta bahwa kurva harus membuka ke bawah ini secara langsung menggugurkan Opsi A dan Opsi B, yang keduanya mengasumsikan $a > 0$ (parabola membuka ke atas).

Asal-usul Sumbu Simetri

Posisi kiri atau kanan puncak parabola dikendalikan oleh interaksi antara koefisien $a$ dan $b$ melalui rumus sumbu simetri.

Secara geometri, parabola memiliki garis vertikal maya yang membelah kurvanya menjadi dua bagian identik bercermin. Garis ini disebut sumbu simetri, dan posisinya tepat memotong koordinat horizontal dari titik puncak. Untuk fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$, posisi horizontal sumbu simetri ini dirumuskan sebagai:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Dalam analogi kawat melengkung kita, nilai $b$ mengendalikan tarikan kawat ke kiri atau ke kanan dari dinding sumbu-y. Jika $b = 0$, maka posisi sumbu simetri menjadi $x = 0$, yang berarti titik puncak parabola menempel tepat pada sumbu-y. Fakta ini langsung menggugurkan Opsi E, karena soal menyatakan titik puncak berada di dalam Kuadran II, bukan menempel pada sumbu-y.

Karena titik puncak terletak di Kuadran II, posisi horizontalnya berada di sebelah kiri sumbu-y. Nilai absis di sebelah kiri sumbu-y bernilai negatif ($x < 0$). Dengan menyamakan absis puncak ke rumus sumbu simetri, kita memperoleh kerangka pertidaksamaan:

$$-\frac{b}{2a} < 0$$

Menebak Tanda Koefisien b

Tanda koefisien $b$ ditentukan dengan mensubstitusikan tanda koefisien $a$ ke dalam syarat posisi sumbu simetri.

Dari halaman-halaman sebelumnya, kita telah mengumpulkan dua fakta kunci:

1. Kurva melengkung ke bawah, sehingga $a < 0$ (negatif).

2. Titik puncak berada di kiri sumbu-y, sehingga $-\frac{b}{2a} < 0$ (negatif).

Sekarang, mari kita bedah pecahan $-\frac{b}{2a}$ secara aljabar:

$$\frac{-b}{2a} < 0$$

Karena $a$ bernilai negatif ($a < 0$), maka penyebutnya ($2a$) bernilai negatif. Agar hasil bagi suatu pecahan bernilai negatif ($< 0$), pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang berlawanan. Karena penyebutnya sudah bernilai negatif, maka pembilangnya harus bernilai positif:

$$-b > 0$$

Jika $-b$ bernilai positif, maka mengalikan kedua ruas dengan $-1$ akan membalik tanda pertidaksamaan, sehingga:

$$b < 0$$

Dengan demikian, sifat koefisien yang benar adalah $a < 0$, $b < 0$, dan $c > 0$, yang sesuai dengan Opsi D. Temuan ini juga membuktikan mengapa Opsi C salah: opsi tersebut memasang tanda $b > 0$, yang justru akan menggeser puncak kurva ke sebelah kanan sumbu-y jika $a < 0$.