Membongkar Pola Deret Teleskopik
Menyamakan Penyebut: Maju dan Mundur
Memecah pecahan adalah kebalikan persis dari proses menyamakan penyebut.
Saat di bangku sekolah dasar, kita terbiasa menjumlahkan atau mengurangkan pecahan dengan mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Sebagai contoh, perhatikan operasi pengurangan berikut:
$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$
Perhatikan bahwa penyebut $6$ berasal dari hasil kali $2 \times 3$. Arah dari kiri ke kanan ini disebut proses "maju", yaitu menyamakan penyebut untuk menggabungkan dua pecahan menjadi satu pecahan tunggal.
Proses sebaliknya, yaitu mengubah satu pecahan tunggal menjadi selisih atau jumlah pecahan yang lebih sederhana, disebut sebagai dekomposisi pecahan. Dari bentuk pecahan $\frac{1}{6}$, kita dapat memecahnya kembali menjadi $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.
Prinsip "mundur" inilah yang menjadi kunci utama untuk menyederhanakan deret pecahan aljabar yang terlihat rumit.
Membuktikan Pola Aljabar
Bentuk $1$ dibagi perkalian berurutan $n(n+1)$ selalu ekuivalen dengan $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
Untuk membuktikan keabsahannya, kita tidak perlu menebak-nebak. Cukup lakukan proses menyamakan penyebut pada bentuk selisih aljabar tersebut dari arah kanan ke kiri:
$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$$
Karena pembilang $(n+1) - n$ menghasilkan tepat nilai $1$, identitas ini terbukti sah untuk setiap bilangan bulat positif $n$.
Tentukan apakah dekomposisi pecahan berikut bernilai Benar atau Salah berdasarkan selisih penyebutnya:
- $\frac{1}{20}$ ekuivalen dengan $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$. — Benar
- $\frac{1}{35}$ ekuivalen dengan $\frac{1}{5} - \frac{1}{7}$. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena penyebut 4 dan 5 berselisih 1, sehingga 1/4 - 1/5 = (5 - 4)/20 = 1/20. Pernyataan 2 Salah karena 1/5 - 1/7 = (7 - 5)/35 = 2/35, bukan 1/35.
Memeriksa kebenaran dekomposisi pecahan dengan menyamakan penyebut
Menyusun Pecahan Jadi Deret
Setiap pecahan dalam deret dapat diubah menjadi selisih dua pecahan berturutan.
Mari kita terapkan aturan aljabar ini pada persoalan asli yang hendak kita selesaikan:
$$S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100}$$
Alih-alih mencari penyebut raksasa untuk menyamakan $99$ pecahan sekaligus, kita lakukan dekomposisi pecahan pada setiap suku:
Suku pertama: $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
Suku kedua: $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
Suku ketiga: $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Suku terakhir: $\frac{1}{99 \times 100} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$
Ketika dijabarkan berdampingan, kita dapat melihat pola menarik: terdapat banyak bilangan kembar berlawanan tanda yang saling berdampingan, seperti $-\frac{1}{2}$ dari suku pertama dan $+\frac{1}{2}$ dari suku kedua. Pola berulang ini menjadi jembatan menuju penyederhanaan deret secara dramatis.