Komposisi Fungsi dari Grafik

Aturan Mesin Berantai

Fungsi komposisi $(f \circ g \circ h)(x)$ dikerjakan dari paling kanan (dalam) ke kiri (luar), mirip mesin berantai.

Notasi lingkaran kecil $\circ$ menyatakan operasi komposisi. Ketika kamu melihat bentuk $(f \circ g \circ h)(x)$, bentuk ini sama artinya dengan:

$$f(g(h(x)))$$

Diagram alir mesin berantai tiga tahap dari fungsi h ke g lalu ke f.

Dalam analogi pabrik, nilai awal $x$ adalah bahan baku mentah. Bahan baku ini tidak langsung diproses oleh fungsi $f$, melainkan harus masuk ke Mesin h terlebih dahulu. Begitu Mesin h selesai mengolah dan mengeluarkan hasil, barulah hasil tersebut dioper ke Mesin g. Terakhir, hasil olahan dari Mesin g dimasukkan ke Mesin f untuk menghasilkan produk akhir.

Jika soal menanyakan $(f \circ g \circ h)(2)$, urutan kerjanya adalah:

  1. Masukkan $2$ ke fungsi $h$ untuk mencari $h(2)$.

  2. Masukkan hasil $h(2)$ ke fungsi $g$.

  3. Masukkan hasil $g(h(2))$ ke fungsi $f$.

Membaca Grafik: Mesin Pertama

Langkah pertama membaca grafik adalah mencari nilai input di sumbu-x, lalu melihat nilai pasangannya di sumbu-y pada kurva fungsi paling kanan.

Dalam soal, input awalnya adalah $x = 2$, dan mesin yang pertama kali memprosesnya adalah fungsi $h$ (kurva hijau). Cara membacanya:

  1. Cari angka $2$ pada sumbu-x.

  2. Tarik garis vertikal ke atas sampai menyentuh Kurva h.

  3. Dari titik pertemuan kurva tersebut, tarik garis horizontal ke kiri menuju sumbu-y.

Titik pada grafik tersebut berada di koordinat $(2, 1)$. Artinya, nilai dari $h(2) = 1$.

Sebuah fungsi grafiknya melewati titik koordinat (4, 7). Berapakah nilai fungsi tersebut saat input yang diberikan bernilai 4?

  • 7
  • 4
  • 11
  • 0

Jawaban: 7

Jika sebuah kurva melewati koordinat (4, 7), input fungsi adalah x = 4 dan output fungsinya adalah pasangan nilai pada sumbu vertikal, yaitu y = 7. Opsi B salah karena 4 adalah nilai input (sumbu-x). Opsi C salah karena menjumlahkan koordinat secara sembarangan (4 + 7 = 11). Opsi D salah karena mengira nilai fungsi selalu bernilai nol pada titik potong.

Membaca nilai fungsi dari koordinat grafik kartesius (input x menghasilkan output y).

Estafet: Hasil Menjadi Input Baru

Nilai $y$ yang didapat dari fungsi pertama berubah status menjadi nilai $x$ (input baru) untuk fungsi berikutnya.

Dari tahap sebelumnya, kita sudah memperoleh $h(2) = 1$. Angka $1$ ini adalah produk keluaran dari mesin $h$ yang berada di sumbu-y. Dalam fungsi komposisi, angka ini langsung dioper menjadi bahan baku masuk untuk fungsi $g$.

$$\underbrace{(f \circ g \circ h)(2)}_{f(g(h(2)))} \longrightarrow f(g(\mathbf{1}))$$

Grafik garis lurus g menunjukkan proses pemindahan nilai 1 dari sumbu-y ke sumbu-x, lalu dipetakan ke sumbu-y menghasilkan nilai 2.

Inilah momen estafet: nilai $1$ berpindah peran dari sumbu hasil kembali menjadi nilai pada sumbu-x untuk fungsi $g$.

  1. Mulai dari nilai $1$ pada sumbu-x (Input g).

  2. Naik ke atas mengikuti garis penunjuk sampai memotong garis lurus biru (Garis g).

  3. Pantulkan ke kiri menuju sumbu-y, sehingga kita membaca angka $2$ (Hasil g).

Maka didapat nilai $g(1) = 2$.