Barisan Deret: Mengenali Pola Eksponensial

Membongkar Angka di Tabel

Pola bilangan harus diuji ke seluruh data berurutan, bukan cuma dari dua angka pertama.

Ketika melihat data sensus penduduk dari tahun $2013$ ke $2014$, jumlah penduduk bertambah dari $60.000$ menjadi $66.000$. Selisih pertambahannya adalah:

$$66.000 - 60.000 = 6.000$$

Sekilas, angka ini tampak rapi. Namun, jangan terburu-buru menyimpulkan bahwa setiap tahun penduduk selalu bertambah $6.000$ jiwa. Kita wajib menguji langkah berikutnya, yaitu dari tahun $2014$ ke $2015$.

Jika data tersebut mengikuti Barisan Aritmetika (pola penjumlahan dengan pertambahan tetap), jumlah penduduk pada tahun $2015$ seharusnya menjadi:

$$66.000 + 6.000 = 72.000$$

Kenyataannya, tabel mencatat angka $72.600$. Selisih dari tahun $2014$ ke $2015$ sebenarnya adalah:

$$72.600 - 66.000 = 6.600$$

Pertambahan penduduk yang makin besar dari tahun ke tahun mengindikasikan adanya efek bola salju: bukan hanya menambah jumlah yang sama setiap putaran, melainkan pertambahan bertingkat yang dihitung dari total terakhir.

Mencari Rasio Pembagi

Jika selisih absolut tidak sama, bandingkan menggunakan persentase atau rasio (pembagian nilai berturutan) untuk menemukan polanya.

Ketika pengurangan gagal menghasilkan angka tetap, kita beralih ke pembagian. Mari kita bagi nilai suatu tahun dengan nilai tahun tepat sebelumnya:

$$\text{Rasio } \frac{P_{2014}}{P_{2013}} = \frac{66.000}{60.000} = 1{,}1$$

Sekarang uji ke pasangan tahun berikutnya:

$$\text{Rasio } \frac{P_{2015}}{P_{2014}} = \frac{72.600}{66.000} = 1{,}1$$

Kedua perbandingan menghasilkan pengali yang persis sama, yaitu $1{,}1$. Karena nilai rasio antar-suku berturut-turut bernilai tetap, pola pertumbuhan data ini adalah Barisan Geometri.

Pengali $1{,}1$ berarti setiap tahun jumlah penduduk menjadi $110\%$ dari tahun sebelumnya, atau bertambah sebesar $10\%$ per tahun. Mekanisme ini identik dengan prinsip Bunga Majemuk: pertambahan $10\%$ berikutnya dihitung bukan dari modal awal $60.000$, melainkan dari saldo baru yang sudah membesar. Inilah yang mendasari efek bola salju pada populasi.

Aplikasi Rumus ke Tahun 2018

Lompatan beberapa tahun bisa dihitung langsung dengan memangkatkan rasio sejumlah selisih tahun, alih-alih menghitung satu per satu.

Tahun dasar sensus adalah $2013$, yang kita tetapkan sebagai waktu awal ($t = 0$) dengan populasi awal $P_0 = 60.000$. Target estimasi kita adalah tahun $2018$, sehingga selisih waktunya adalah:

$$t = 2018 - 2013 = 5 \text{ tahun}$$

Karena populasi bertambah dengan rasio pengali konstan $1{,}1$ setiap tahun, menghitung populasi setelah $5$ tahun berarti mengalikan nilai awal dengan $1{,}1$ sebanyak $5$ kali berturut-turut. Secara aljabar, proses ini dirumuskan sebagai:

$$P_t = P_0(1+r)^t$$

Dengan laju pertumbuhan $r = 0{,}1$ (sehingga faktor pengalinya $1 + r = 1{,}1$), kita peroleh:

$$P_5 = 60.000 \times (1{,}1)^5$$

Mari kita hitung nilai perpangkatan $(1{,}1)^5$:

$$(1{,}1)^5 = 1{,}61051 \approx 1{,}61$$

Substitusikan kembali ke perhitungan jumlah penduduk:

$$P_5 = 60.000 \times 1{,}61 = 96.600 \text{ jiwa}$$

Hasil ini persis cocok dengan Opsi D. Angka pada Opsi A ($82.600$) dan Opsi B ($86.600$) adalah angka yang terlalu kecil karena tidak memperhitungkan pertumbuhan majemuk selama $5$ tahun, sedangkan Opsi E ($100.600$) melampaui hasil model karena kemungkinan pembulatan yang berlebih.