Analisis Fungsi Biaya: Domain, Range, dan Puncak Parabola
Batasan Input dan Derajat Polinomial
Batasan input yang diberikan secara langsung menjadi domain fungsi tersebut.
Bayangkan fungsi biaya ini seperti mesin pengolah. Jumlah mainan yang dimasukkan ke dalam mesin merupakan input. Di dunia nyata, mesin memiliki kapasitas kerja: soal menyatakan bahwa perusahaan hanya dapat memproduksi mainan antara $0$ hingga $10$ unit per hari.
Batasan nilai input yang diizinkan masuk ke mesin inilah yang kita sebut sebagai domain (daerah asal). Karena jumlah unit $x$ dibatasi dari $0$ sampai $10$, maka domain fungsinya dituliskan sebagai $\{x \mid 0 \le x \le 10, x \in \mathbb{R}\}$. Hal ini membuktikan bahwa Opsi A benar.
Secara matematis, rentang nilai input ini digambarkan sebagai selang tertutup pada garis bilangan, mencakup semua bilangan riil dari ujung kiri $0$ sampai ujung kanan $10$.
Fungsi biaya yang dijalankan mesin tersebut memiliki persamaan:
$$B(x) = 2x^2 - 10x + 50$$
Bentuk aljabar ini tersusun atas suku-suku variabel berpangkat bilangan cacah, yang kita sebut sebagai polinomial (suku banyak). Karena pangkat tertinggi dari variabel $x$ adalah $2$, fungsi $B(x)$ tergolong sebagai fungsi polinomial berderajat 2 (fungsi kuadrat). Oleh sebab itu, pernyataan pada Opsi E benar.
Sebuah restoran membatasi pemesanan paket makan harian dari 5 hingga 50 boks. Jika $x$ menyatakan jumlah boks yang dipesan, manakah representasi domain yang tepat untuk situasi tersebut?
- $\{x \mid 5 \le x \le 50\}$
- $\{x \mid 0 \le x \le 50\}$
- $\{y \mid 5 \le y \le 50\}$
- Domain tidak bisa ditentukan karena informasi tidak cukup
Jawaban: $\{x \mid 5 \le x \le 50\}$
Domain adalah himpunan semua nilai input variabel bebas ($x$) yang diizinkan dalam suatu sistem atau fungsi. Karena batasan pemesanan boks secara eksplisit ditentukan antara 5 hingga 50 boks, domainnya adalah $\{x \mid 5 \le x \le 50\}$. Pilihan $\{x \mid 0 \le x \le 50\}$ salah karena mengabaikan batas bawah 5, sedangkan penggunaan variabel $y$ salah karena $y$ umumnya mewakili output (range).
Batasan masukan (input) dalam suatu permasalahan dunia nyata bertindak sebagai domain fungsi matematika.
Biaya Saat Tidak Produksi
Menghitung biaya saat tidak ada aktivitas produksi sama dengan mengevaluasi nilai fungsi ketika $x = 0$.
Pada analogi mesin pengolah, keadaan "perusahaan tidak memproduksi mainan" berarti tidak ada bahan baku yang dimasukkan ke dalam mesin sama sekali, yaitu $x = 0$. Untuk mengetahui biayanya, kita cukup memasukkan nilai $x = 0$ ke dalam rumus fungsi biaya:
$$B(0) = 2(0)^2 - 10(0) + 50 = 0 - 0 + 50 = 50$$
Karena biaya diukur dalam satuan ribu rupiah, maka biaya saat tidak memproduksi mainan adalah $50$ ribu rupiah. Angka $50$ ini berasal dari suku konstanta aljabar, yang mewakili biaya tetap awal (seperti biaya sewa gedung atau langganan listrik mesin yang tetap berjalan meskipun belum menghasilkan mainan). Dengan demikian, pernyataan pada Opsi C salah karena menyatakan biayanya adalah $40$ ribu rupiah.
Ketinggian sebuah balon udara (dalam meter) pada waktu $x$ menit setelah pengamatan dimulai dimodelkan oleh fungsi $t(x) = -3x^2 + 15x + 20$. Berapakah ketinggian balon udara saat baru akan mulai diamati ($x = 0$)?
- 20 meter
- 0 meter
- 15 meter
- -3 meter
Jawaban: 20 meter
Keadaan saat baru akan mulai bergerak bersesuaian dengan waktu awal $x = 0$. Memasukkan nilai $x = 0$ ke fungsi $t(x) = -3(0)^2 + 15(0) + 20$ menghasilkan $t(0) = 20$ meter. Pengecoh 0 meter salah karena mengasumsikan balon harus di tanah, sedangkan 15 dan -3 adalah koefisien suku yang lenyap saat dikali nol.
Substitusi x=0 pada persamaan polinomial menghasilkan nilai konstantanya.
Mencari Titik Puncak
Nilai minimum suatu fungsi kuadrat yang kurvanya terbuka ke atas terjadi di sumbu simetrinya $x = -\frac{b}{2a}$.
Ketika efisiensi mesin pengolah berubah seiring bertambahnya beban produksi, kurva biaya membentuk lintasan lengkung yang disebut parabola. Fungsi biaya produksi kita adalah:
$$B(x) = 2x^2 - 10x + 50$$
Di sini kita memiliki koefisien $a = 2$, $b = -10$, dan $c = 50$. Karena koefisien kuadratnya bernilai positif ($a = 2 > 0$), kurva parabola ini melengkung terbuka ke atas (membentuk mangkuk atau lembah). Ini berarti titik paling bawah dari kurva tersebut—yaitu titik puncak—merupakan nilai minimum dari biaya operasional mesin.
Secara geometris, titik terendah tersebut tepat berada pada garis lipat simetri kurva. Kita mencari koordinat $x$ untuk sumbu simetri ini dengan rumus perbandingan koefisien:
$$x_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2(2)} = \frac{10}{4} = 2{,}5$$
Artinya, efisiensi tertinggi yang menghasilkan biaya paling rendah tercapai ketika mesin memproduksi tepat $2{,}5$ unit mainan per hari. Nilai $2{,}5$ ini berada di dalam batas domain produksi ($0 \le x \le 10$). Dengan perhitungan ini, terbukti bahwa pernyataan pada Opsi B benar.