Asal-Usul Suku Tengah Barisan Aritmatika
Apa itu Suku Tengah?
Bayangkan sebuah barisan aritmatika berhingga dengan 5 suku:
Karena banyaknya suku ganjil, ada satu suku yang posisinya persis di tengah membagi barisan secara seimbang: suku tersebut adalah $8$ (suku ke-3).
Sekarang, coba hitung rata-rata hitung (arithmetic mean) dari suku paling awal ($a = 2$) dan suku paling akhir ($U_5 = 14$):
Hasilnya persis sama dengan nilai suku tengah! Ini bukan kebetulan semata. Dalam barisan aritmatika, pertambahan nilai antar suku selalu konstan ($+b$). Oleh karena itu, lonjakan nilai dari ujung kiri ke arah tengah selalu seimbang dengan penurunan nilai dari ujung kanan menuju tengah.
Pasangan suku yang berjarak sama dari ujung pun selalu memiliki rata-rata yang sama: $\frac{5 + 11}{2} = 8$. Simetri inilah inti dari suku tengah barisan aritmatika.
Diketahui suatu barisan aritmatika berhingga memiliki suku pertama $a = 5$ dan suku terakhir $U_n = 29$. Berapakah nilai suku tengah ($U_t$) dari barisan tersebut?
- 15
- 17
- 20
- 24
Jawaban: 17
Suku tengah adalah rata-rata suku pertama dan suku terakhir: $U_t = \frac{a + U_n}{2} = \frac{5 + 29}{2} = \frac{34}{2} = 17$.
Suku tengah barisan aritmatika bernilai rata-rata suku pertama dan terakhir.
Posisi Suku Tengah (Indeks $t$)
Kita tahu barisan harus memiliki banyak suku ganjil ($n$ ganjil) agar memiliki satu suku tunggal tepat di titik pusat. Namun, di urutan atau indeks ke berapa suku tengah ($t$) tersebut berada?
Mari amati pola indeksnya:
Jika $n = 3$, suku tengah ada di urutan ke-$2$.
Jika $n = 5$, suku tengah ada di urutan ke-$3$.
Jika $n = 7$, suku tengah ada di urutan ke-$4$.
Mari kita buktikan rumusnya secara formal. Misalkan posisi suku tengah adalah indeks $t$. Karena suku ke-$t$ terletak persis di tengah:
Banyak suku di sebelah kiri $t$ adalah $(t - 1)$ suku.
Banyak suku di sebelah kanan $t$ juga harus sama persis, yaitu $(t - 1)$ suku.
Total seluruh suku ($n$) merupakan penjumlahan dari suku di sisi kiri, suku tengah itu sendiri (1 suku), dan suku di sisi kanan:
Tambahkan $1$ ke kedua ruas, lalu bagi dengan $2$:
Suatu barisan aritmatika terdiri atas $21$ suku. Pada urutan ke berapakah suku tengah barisan tersebut berada?
- Suku ke-9
- Suku ke-10
- Suku ke-11
- Suku ke-12
Jawaban: Suku ke-11
Gunakan rumus indeks suku tengah: $t = \frac{n + 1}{2} = \frac{21 + 1}{2} = \frac{22}{2} = 11$. Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-11 ($U_{11}$).
Indeks suku tengah pada barisan berhingga dengan n suku ganjil adalah t = (n+1)/2.
Penurunan Formal Rumus $U_t$
Di halaman pertama kita menemukan intuisi bahwa nilai $U_t = \frac{a + U_n}{2}$, dan di halaman kedua kita membuktikan indeks posisinya adalah $t = \frac{n + 1}{2}$.
Sekarang, mari kita buktikan hubungan nilai tersebut secara aljabar deduktif murni.
Rumus umum suku ke-$k$ pada barisan aritmatika adalah:
Untuk suku tengah ($U_t$), substitusikan indeks $t = \frac{n + 1}{2}$:
Samakan penyebut pada pecahan di dalam kurung:
Sehingga persamaan menjadi:
Kalikan $a$ dengan $\frac{2}{2}$ agar semua suku memiliki penyebut per-$2$:
Pecah $2a$ menjadi $a + a$:
Perhatikan bentuk aljabar di dalam kurung siku: $a + (n - 1)b$ tidak lain adalah definisi rumus suku terakhir ($U_n$). Dengan demikian, kita peroleh pembuktian utuh: