Orang vs Luas: Jebakan Jarak

Manusia Bukan Lantai

Menghitung luas area tidak sama dengan menghitung jumlah objek tunggal yang tersebar dalam area tersebut.

Jika kita ingin menutup lantai ruangan berukuran $30\text{ m} \times 80\text{ m}$ dengan ubin karpet berukuran $1\text{ m} \times 1\text{ m}$, kita memang membutuhkan $2.400$ lembar karpet karena setiap karpet dipasang rapat berdampingan dan menyambung mengisi seluruh permukaan lantai.

Namun, peserta upacara bukan lembaran karpet yang menempel satu sama lain. Manusia adalah objek yang berdiri sendiri-sendiri dengan celah kosong di antara mereka. Mengalikan $30 \times 80 = 2.400$ secara langsung—seperti pada Opsi B ($A < B$)—membuat kita melewatkan barisan orang yang berdiri tepat di garis batas paling luar lapangan.

Misteri Tiang Bendera

Pada sebuah garis lurus, jumlah titik (tiang atau orang) selalu lebih banyak satu dari jumlah jarak (celah) di antara mereka.

Bayangkan kita sedang memasang tiang bendera di sepanjang jalan lurus sejauh $5$ meter dengan jarak antartiang $1$ meter. Jika panjang jalan hanya dibagi jarak ($5 \div 1 = 5$), kita sebenarnya baru menghitung jumlah celah atau bentangan jalan, bukan jumlah tiangnya!

Mari kita lacak posisinya dari awal:

• Meter ke-$0$: Tiang ke-$1$ (ujung awal)

• Meter ke-$1$: Tiang ke-$2$

• Meter ke-$2$: Tiang ke-$3$

• Meter ke-$3$: Tiang ke-$4$

• Meter ke-$4$: Tiang ke-$5$

• Meter ke-$5$: Tiang ke-$6$ (ujung akhir)

Jarak yang terbentang berjumlah $5$ celah, tetapi tiang yang terpasang ada $6$ buah. Dalam matematika, pola ini dikenal sebagai Fencepost Problem: ketika objek diletakkan sebagai titik batas di kedua ujung, jumlah objek selalu bernilai $\text{jumlah celah} + 1$. Objek-objek ini bersifat diskrit (dihitung utuh satu demi satu).

Pada lapangan upacara di soal, sisi sepanjang $30$ meter dengan jarak $1$ meter memuat $30 + 1 = 31$ orang. Begitu pula sisi sepanjang $80$ meter memuat $80 + 1 = 81$ orang.

Dari Garis ke Lapangan

Jumlah total objek dalam sebuah area grid dua dimensi adalah hasil kali jumlah objek pada sisi baris dan sisi kolom.

Mari bawa aturan $n + 1$ dari garis satu dimensi ke lapangan dua dimensi. Bayangkan lapangan mini berukuran $2\text{ m} \times 2\text{ m}$ dengan jarak minimal antartitik $1\text{ meter}$:

• Pada sumbu horizontal ($2\text{ meter}$), terdapat $2$ celah $\to 2 + 1 = 3$ orang per baris.

• Pada sumbu vertikal ($2\text{ meter}$), terdapat $2$ celah $\to 2 + 1 = 3$ orang per kolom.

Luas lapangan memang $2 \times 2 = 4\text{ m}^2$ (terdapat $4$ petak kotak). Akan tetapi, orang-orang berdiri pada setiap persimpangan garis grid dan garis tepi luar, sehingga jumlah totalnya adalah $3 \times 3 = 9$ orang!

Dengan prinsip yang sama pada soal asli:

• Sisi baris ($80\text{ meter}$): memuat $80 + 1 = 81$ orang.

• Sisi kolom ($30\text{ meter}$): memuat $30 + 1 = 31$ orang.

• Total peserta upacara maksimal ($A$): $81 \times 31 = 2.511$ orang.

Nilai pembanding pada soal adalah $B = 2.500$. Karena $2.511 > 2.500$, maka hubungan yang tepat adalah $A > B$ (Opsi A benar).