Trik Simetri Indeks Barisan Aritmatika

Rahasia Indeks Barisan Aritmatika

Jumlah dua suku pada barisan aritmatika akan sama jika jumlah indeks posisinya sama. Banyak siswa mengira saat berhadapan dengan soal barisan aritmatika, kita harus selalu mencari nilai suku pertama ($a$) dan beda ($b$) terlebih dahulu. Padahal, ada sifat simetri yang memungkinkan kita menyelesaikan persoalan penjumlahan suku tanpa perlu membongkar nilai suku satu per satu.

Bayangkan sebuah barisan aritmatika sederhana yang terdiri dari bilangan genap: $2, 4, 6, 8, 10, 12$. Jika kita menjumlahkan suku paling ujung kiri dan ujung kanan, yaitu suku ke-1 dan ke-6 ($a_1 + a_6$), hasilnya adalah $2 + 12 = 14$. Sekarang coba jumlahkan suku ke-2 dan ke-5 ($a_2 + a_5$): hasilnya juga $4 + 10 = 14$. Begitu pula suku ke-3 dan ke-4 ($a_3 + a_4 = 6 + 8 = 14$).

Perhatikan angka kecil di bawah setiap suku yang disebut indeks. Pada pasangan $a_1 + a_6$, jumlah indeksnya adalah $1 + 6 = 7$. Pada pasangan $a_2 + a_5$, jumlah indeksnya $2 + 5 = 7$. Pada pasangan $a_3 + a_4$, jumlah indeksnya pun $3 + 4 = 7$. Dari keteraturan ini, berlakulah sifat penting pada barisan aritmatika:

$$a_i + a_j = a_m + a_n \iff i + j = m + n$$

Membongkar Deret Pertama

Deret panjang dengan beda indeks konstan bisa diringkas menjadi perkalian pasangan ujungnya. Ketika melihat deret pada soal, yaitu $a_1 + a_4 + a_7 + ... + a_{16} = 1,5$, sebagian orang mungkin mengira suku-suku yang melompat ini tidak beraturan. Jika kita jabarkan seluruh sukunya dengan melompat $3$ indeks secara berurutan, deret tersebut memuat $6$ suku:

$$a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 1,5$$

Mari kita periksa pasangan ujungnya menggunakan sifat simetri. Indeks suku pertama dan terakhir berjumlah $1 + 16 = 17$. Pasangan berikutnya yang melangkah ke dalam juga memiliki jumlah indeks yang sama: $4 + 13 = 17$, serta $7 + 10 = 17$.

Karena seluruh $6$ suku tersebut dapat dipasangkan secara utuh menjadi $3$ pasang bernilai kembar, penjumlahannya dapat dikelompokkan:

$$(a_1 + a_{16}) + (a_4 + a_{13}) + (a_7 + a_{10}) = 1,5$$

$$(a_1 + a_{16}) + (a_1 + a_{16}) + (a_1 + a_{16}) = 1,5$$

$$3(a_1 + a_{16}) = 1,5$$

Dengan membagi kedua ruas dengan $3$, kita menemukan nilai pasti dari satu pasang ujung:

$$a_1 + a_{16} = 0,5$$

Kita berhasil mendapatkan nilai paket pasangan $(a_1 + a_{16})$ tanpa harus mengetahui berapa nilai $a_1$ maupun beda antar sukunya!

Jangan Terkecoh Jumlah Suku

Nilai total deret adalah jumlah pasangannya dikali nilai satu pasangan, bukan jumlah sukunya. Sekarang perhatikan deret kedua yang ditanyakan pada soal:

$$a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$$

Deret ini memiliki $4$ suku. Mari kita cek jumlah indeks pada pasangan-pasangannya:

• Pasangan ujung: $1 + 16 = 17 \rightarrow (a_1 + a_{16})$

• Pasangan tengah: $6 + 11 = 17 \rightarrow (a_6 + a_{11})$

Karena jumlah indeksnya sama-sama $17$, maka berdasarkan sifat simetri, nilai $(a_6 + a_{11})$ sama persis dengan $(a_1 + a_{16})$. Dengan $4$ suku, kita memperoleh tepat $2$ pasang suku simetris:

$$(a_1 + a_{16}) + (a_6 + a_{11}) = 2(a_1 + a_{16})$$

Karena dari halaman sebelumnya kita sudah menemukan bahwa nilai satu pasangan adalah $0,5$, maka total deretnya:

$$2 \times 0,5 = 1$$

Oleh karena itu, Opsi B ($1$) adalah jawaban yang benar.

Bagaimana dengan opsi lainnya?

• Opsi A ($0$) salah karena suku-suku dalam deret ini bernilai positif dan tidak saling menghilangkan.

• Opsi D ($3$) salah karena mengalikan deret pertama secara langsung tanpa menghitung jumlah suku dan pasangan yang sesungguhnya.

• Opsi E ($4$) salah akibat kekeliruan perhitungan aljabar dalam menentukan nilai pasangan.