Tuntas Merasionalkan Pecahan Akar
Apa Sih Tujuan 'Merasionalkan'?
Pernah lihat pecahan yang bagian bawahnya (penyebutnya) punya bentuk akar, seperti $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}-2}$? Mungkin kamu berpikir, "Oh, semua akar di pecahan ini harus dihilangkan!" Padahal, itu adalah salah satu miskonsepsi paling umum.
Merasionalkan pecahan bukan berarti mengusir semua bentuk akar dari pecahan tersebut. Tujuan utamanya hanya untuk membersihkan bentuk akar di bagian bawah (penyebut) saja. Punya bentuk akar di pembilang (bagian atas) itu sangat normal dan sah-sah saja.
Kenapa bagian bawahnya harus dibersihkan? Alasan utamanya adalah untuk mempermudah perhitungan. Membagi sesuatu dengan bilangan bulat (misalnya dibagi 2) jauh lebih mudah dibayangkan dan dihitung daripada harus membagi dengan bilangan irasional yang angkanya tidak berujung (seperti $\sqrt{6}-2$). Jadi, kita sebenarnya cuma sedang "merapikan" bentuknya!
Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah mengenai tujuan merasionalkan pecahan!
- Hasil akhir pecahan yang dirasionalkan tidak boleh mengandung bentuk akar sama sekali. — Salah
- Merasionalkan pecahan bertujuan mengubah penyebut menjadi bilangan bulat untuk mempermudah perhitungan. — Benar
Merasionalkan hanya membersihkan akar di penyebut. Akar di pembilang (atas) tetap dibiarkan dan normal adanya.
Tujuan merasionalkan hanya menghilangkan akar pada penyebut, bukan pada seluruh pecahan.
Langkah 1: Trik Akar Sekawan
Sekarang kita tahu targetnya: menghilangkan akar di penyebut $\sqrt{6}-2$. Kita tidak bisa asal menghapus akarnya karena itu akan mengubah nilai bilangannya. Di sinilah kita butuh trik "akar sekawan".
Akar sekawan itu ibarat pasangan yang bisa menetralkan bentuk akar. Kalau kita punya bentuk $\sqrt{a}-b$, sekawannya adalah $\sqrt{a}+b$ (tandanya berlawanan). Jadi, sekawan dari $\sqrt{6}-2$ adalah $\sqrt{6}+2$.
Trik utamanya: kita kalikan pecahan kita dengan sekawan per sekawan, yaitu $\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2}$. Kenapa atas dan bawah harus sama? Karena suatu angka yang dibagi dirinya sendiri sama dengan 1. Mengalikan pecahan dengan 1 tidak akan mengubah nilai bilangannya, hanya mengubah "baju" atau bentuknya saja!
Lalu, kenapa harus dikali sekawan? Karena di bagian penyebut, kita akan memanfaatkan pola emas aljabar: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Dengan menguadratkan bentuk akar, akarnya akan langsung lenyap!
Langkah 2: Kalikan Atas dan Bawah
Setelah punya senjatanya, sekarang saatnya eksekusi. Ingat, saat mengalikan pecahan, kita kalikan atas dengan atas, dan bawah dengan bawah.
Mari fokus ke bagian atas (pembilang) dulu: $2\sqrt{5} \times (\sqrt{6}+2)$. Di sini, $2\sqrt{5}$ yang ada di luar kurung harus dikalikan ke kedua suku yang ada di dalam kurung (sifat distributif/pelangi).
$2\sqrt{5} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{30}$ (karena $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$)
$2\sqrt{5} \times 2 = 4\sqrt{5}$ Jadi, bagian atasnya menjadi $2\sqrt{30} + 4\sqrt{5}$.
Sekarang ke bagian bawah (penyebut): $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)$. Pakai pola jitu $A^2 - B^2$ yang sudah kita bahas:
$(\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = 2$. Akarnya sukses hilang!
Sekarang kita punya pecahan baru yang bentuknya jauh lebih rapi: $\frac{2\sqrt{30} + 4\sqrt{5}}{2}$.