Membongkar Teka-teki Eksponen Besar
Mengurangi Pangkat Sama
Pengurangan bilangan berpangkat besar bisa disederhanakan dengan memfaktorkan pangkat yang lebih kecil.
Mari kita mulai dari angka-angka kecil terlebih dahulu. Bayangkan kamu diminta menghitung bentuk berikut:
$$3^3 - 3^2 - 3^2$$
Jika dihitung secara langsung:
$$27 - 9 - 9 = 9$$
Bagaimana jika kita menggunakan sifat aljabar tanpa perlu menghitung nilai angka besarnya? Ingat bahwa eksponen menunjukkan rantai perkalian berulang. Bentuk $3^3$ sebenarnya adalah $3 \cdot 3^2$. Maka ekspresi tadi dapat ditulis ulang menjadi:
$$3 \cdot (3^2) - 1 \cdot (3^2) - 1 \cdot (3^2)$$
Diagram di atas memperlihatkan bagaimana sekumpulan kotak $3^2$ dikurangkan. Jika kita mengibaratkan satu kelompok $3^2$ sebagai variabel $M$, persamaannya menjadi:
$$3M - 1M - 1M = 1M$$
Sehingga hasilnya adalah $1 \cdot 3^2 = 9$. Pola faktorisasi ini berlaku untuk nilai eksponen sebesar apa pun. Ketika menghadapi bentuk $3^{16} - 3^{15} - 3^{15}$, kita cukup mengeluarkan pangkat terkecilnya yaitu $3^{15}$:
$$3^{16} - 3^{15} - 3^{15} = 3 \cdot 3^{15} - 1 \cdot 3^{15} - 1 \cdot 3^{15} = (3 - 1 - 1) \cdot 3^{15} = 1 \cdot 3^{15} = 3^{15}$$
Berapakah hasil paling sederhana dari bentuk $2^{10} - 2^9 - 2^9$?
- 2^9
- 0
- 2^8
- 2
Jawaban: 0
Ubah $2^{10}$ menjadi $2 \cdot 2^9$. Persamaan menjadi $2 \cdot 2^9 - 1 \cdot 2^9 - 1 \cdot 2^9 = (2 - 1 - 1) \cdot 2^9 = 0 \cdot 2^9 = 0$. Pilihan $2^9$ keliru karena hanya mengurangkan satu kali, $2^8$ keliru karena mengurangi eksponen secara langsung ($10 - 1 - 1$), dan $2$ keliru karena membagi basis.
Memfaktorkan pengurangan eksponen menggunakan pangkat terkecil.
Membagi Eksponen
Membagi bilangan berpangkat dengan basisnya sendiri akan mengurangi nilai eksponennya sebesar satu, bukan membagi basisnya.
Mari amati kembali dengan angka kecil: berapakah hasil dari $3^3$ dibagi dengan $3$? Jika dihitung manual, $27 \div 3 = 9$, atau $3^2$.
Simulasi di atas mengilustrasikan basis $3$ sebagai rantai perkalian. Bentuk $3^{15}$ berarti ada rantai yang terdiri dari $15$ buah angka $3$ yang saling dikalikan:
$$3^{15} = \underbrace{3 \times 3 \times 3 \times \dots \times 3}_{15 \text{ faktor}}$$
Saat kita membagi rantai tersebut dengan $3$, kita hanya mengambil satu buah faktor $3$ dari rantai tersebut. Akibatnya, rantai yang tersisa memiliki $14$ faktor angka $3$, yang ditulis sebagai $3^{14}$. Nilai basis di setiap kotak tidak berubah sama sekali menjadi $1$.
Sebuah persamaan dinyatakan sebagai $5 \cdot a^b = 5^{20}$. Jika kedua ruas dibagi dengan 5, bentuk ruas kanan yang benar adalah ....
- 1^20
- 5^4
- 5^19
- 1^4
Jawaban: 5^19
Membagi $5^{20}$ dengan $5$ ($5^1$) mengikuti sifat pembagian eksponen: basis tetap sama, pangkat dikurangi satu ($5^{20 - 1} = 5^{19}$). Pilihan $1^{20}$ keliru karena membagi basis ($5/5$), $5^4$ keliru karena membagi pangkat ($20/5$), dan $1^4$ keliru karena membagi basis sekaligus pangkat.
Aturan pembagian bilangan berpangkat dengan basis yang sama.
Mencari Nilai x dan y
Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menyamakan basis dan pangkat setelah bentuknya paling sederhana.
Sekarang kita gabungkan dua konsep yang sudah dipelajari ke dalam persamaan pada soal:
$$3x^y = 3^{16} - 3^{15} - 3^{15}$$
Pertama, sederhanakan ruas kanan dengan memfaktorkan $3^{15}$:
$$3^{16} - 3^{15} - 3^{15} = 3^{15}(3^1 - 1 - 1) = 3^{15}(1) = 3^{15}$$
Persamaan kini menjadi jauh lebih sederhana:
$$3x^y = 3^{15}$$
Kedua, bagi kedua ruas dengan $3$ untuk mengisolasi suku $x^y$:
$$x^y = \frac{3^{15}}{3^1} = 3^{14}$$
Ketiga, tentukan nilai $x$ dan $y$. Soal memberikan syarat bahwa $x$ adalah bilangan prima dan $x, y$ adalah bilangan bulat positif. Karena ruas kanan memiliki basis $3$ (yang merupakan bilangan prima), kita dapat menyamakan basis dan eksponennya secara langsung:
$$x = 3 \quad \text{dan} \quad y = 14$$
Maka nilai dari $x + y$ adalah:
$$x + y = 3 + 14 = 17$$
Nilai ini sesuai dengan Opsi C.