Menjinakkan Akar Panjang dengan Selisih Kuadrat

Melihat Pola di Balik Keramaian

Bentuk aljabar yang sangat panjang seringkali bisa diringkas dengan mengelompokkan suku-sukunya agar membentuk pola $(a+b)(a-b)$.

Saat melihat perkalian empat kurung panjang seperti pada soal: $(\sqrt9+\sqrt8+\sqrt7)(-\sqrt7+\sqrt8+\sqrt9)(\sqrt9-\sqrt8+\sqrt7)(\sqrt7+\sqrt8-\sqrt9)$

Reaksi wajar pertama adalah merasa pusing karena tampak sangat rumit jika dikalikan satu per satu secara manual (pelangi). Namun, pembuat soal tidak merancang bentuk ini untuk dijabarkan suku demi suku yang memakan waktu dan rentan keliru.

Ilustrasi blok mainan yang dikelompokkan membentuk blok besar a dan b untuk menyusun pola penjumlahan dan pengurangan.

Perhatikan pasangan kurung pertama dan keempat:

$$((\sqrt7+\sqrt8) + \sqrt9) \quad \text{dan} \quad ((\sqrt7+\sqrt8) - \sqrt9)$$

Kedua kurung ini memiliki struktur yang identik dengan $(a+b)$ dan $(a-b)$, di mana blok $a = (\sqrt7+\sqrt8)$ dan blok $b = \sqrt9$. Dengan mengelompokkannya seperti ini, perkalian rumit tersebut langsung tereduksi menjadi $a^2 - b^2$.

Jangan Lupakan Suku Tengah

Mengkuadratkan penjumlahan dua akar tidak sesederhana menjumlahkan angkanya, karena ada suku tengah $2ab$ yang harus dihitung.

Salah satu kekeliruan paling umum saat menyederhanakan bentuk $(\sqrt7 + \sqrt8)^2$ adalah langsung menulisnya sebagai $7 + 8 = 15$. Anggapan bahwa $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ membuat proses perhitungan kehilangan komponen penting dan berujung pada jawaban yang keliru.

Diagram geometris pembuktian kuadrat binomial a+b kuadrat yang terbagi menjadi empat area: a kuadrat, b kuadrat, dan dua area ab.

Secara geometris, saat kita membuat persegi dengan panjang sisi $(a+b)$, luas totalnya bukan hanya persegi $a^2$ dan persegi $b^2$. Ada dua bidang persegi panjang seluas $ab$ yang mengisi sisi-sisinya. Penjabaran binomial yang utuh adalah:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Tanpa suku tengah $2ab$, struktur perhitungan kita menjadi bolong. Mari terapkan aturan ini pada blok $(\sqrt7 + \sqrt8)^2$:

Jumlah keseluruhannya adalah:

$$(\sqrt7 + \sqrt8)^2 = 7 + 8 + 2\sqrt{56} = 15 + 2\sqrt{56}$$

Berapakah hasil ekspansi dari (√5 + √3)²?

  • 8
  • 8 + 2√15
  • 8 + √15
  • 15

Jawaban: 8 + 2√15

Berdasarkan rumus kuadrat binomial (a+b)² = a² + 2ab + b², maka (√5 + √3)² = (√5)² + 2(√5)(√3) + (√3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15. Opsi A keliru karena melupakan suku tengah 2ab. Opsi C keliru karena lupa mengalikan perkalian akar dengan faktor 2. Opsi D keliru karena hanya mengalikan angka di dalam akar.

Kuadrat dari penjumlahan dua akar mengandung suku 2ab.

Mengeksekusi Kelompok Pertama

Pola selisih dua kuadrat mereduksi kelompok kurung panjang menjadi dua suku yang lebih sederhana.

Sekarang kita bisa menggabungkan konsep blok bongkar pasang dan kuadrat binomial untuk menyelesaikan pasangan kelompok pertama dari soal, yang kita sebut sebagai $A$:

$$A = ((\sqrt7+\sqrt8)+\sqrt9)((\sqrt7+\sqrt8)-\sqrt9)$$

Bentuk ini mengikuti struktur $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, dengan $x = (\sqrt7+\sqrt8)$ dan $y = \sqrt9$. Kita peroleh:

$$A = (\sqrt7+\sqrt8)^2 - (\sqrt9)^2$$

Dari pemahaman di halaman sebelumnya, kita tahu bahwa $(\sqrt7+\sqrt8)^2 = 15 + 2\sqrt{56}$, sedangkan $(\sqrt9)^2 = 9$. Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:

$$A = (15 + 2\sqrt{56}) - 9$$

Dengan menggunakan pola ini, perkalian dua kurung yang masing-masing berisi tiga suku langsung menyusut menjadi sebuah bentuk binomial sederhana.