Keterbagian: Menguak Rahasia n² - 1

Melihat Pola Awal

Mencoba beberapa sampel bilangan ganjil bisa menyingkirkan jawaban yang salah dan memberikan petunjuk kuat terhadap jawaban yang benar.

Trik memasukkan nilai ganjil konkret ke dalam variabel $n$ sangat berguna sebagai langkah pertama untuk mengenali pola keterbagian. Mari kita uji berturut-turut untuk nilai bilangan ganjil awal:

Untuk $n = 1 \implies 1^2 - 1 = 0$
Untuk $n = 3 \implies 3^2 - 1 = 8$
Untuk $n = 5 \implies 5^2 - 1 = 24$
Untuk $n = 7 \implies 7^2 - 1 = 48$

Perhatikan hasil saat $n = 3$, yaitu nilainya tepat $8$. Fakta ini langsung menggugurkan beberapa pilihan:

Opsi B ($6$) salah, karena $8$ tidak habis dibagi oleh $6$.
Opsi D ($12$) salah, karena $8$ tidak habis dibagi oleh $12$ (walaupun $24$ dan $48$ kebetulan kelipatan $12$).
Opsi E ($16$) salah, karena $8$ tidak habis dibagi oleh $16$.

Mengubah ke Bentuk Balok

Keterbagian lebih mudah diidentifikasi lewat perkalian, sehingga persamaan perlu difaktorkan terlebih dahulu.

Dari tabel pola angka sebelumnya, kita tahu hasilnya selalu kelipatan $8$. Untuk memahami penyebab strukturalnya, kita gunakan sifat selisih dua kuadrat untuk memfaktorkan bentuk tersebut:

$$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$$

Diagram dua kelompok balok genap berdampingan melambangkan n-1 dan n+1

Sekarang, mari amati sifat paritas (genap atau ganjil) dari kedua faktor tersebut jika $n$ adalah bilangan ganjil:

Jika suatu bilangan ganjil dikurangi $1$, hasilnya pasti bilangan genap.
Jika suatu bilangan ganjil ditambah $1$, hasilnya juga pasti bilangan genap.

Sebagai ilustrasi, jika kita ambil bilangan ganjil $n = 5$, maka faktornya menjadi $(5 - 1) = 4$ dan $(5 + 1) = 6$. Keduanya adalah bilangan genap dengan selisih tepat $2$. Artinya, bentuk $(n - 1)(n + 1)$ selalu merupakan perkalian dari dua bilangan genap berurutan.

Misalkan bilangan x adalah bilangan ganjil sembarang. Tentukan kebenaran dari sifat bilangan yang terbentuk dari x berikut!

Bilangan x ditambah satu pasti genap. — Benar
Perkalian dua bilangan ganjil bisa menghasilkan genap. — Salah

Jika x ganjil, x + 1 meloncat ke bilangan berikutnya yang pasti genap (memiliki faktor 2). Sementara itu, perkalian dua bilangan ganjil tidak pernah menghasilkan bilangan genap karena tidak ada faktor 2 di kedua bilangan pembentuknya.

Sifat paritas bilangan setelah ditambah satu dan perkalian bilangan ganjil

Kolaborasi Genap Berurutan

Dua bilangan genap berurutan menyimpan rahasia kelipatan: satu hanya genap biasa, satu lagi pasti kelipatan empat.

Mari kita amati beberapa pasang bilangan genap yang bersebelahan:

$2$ dan $4$
$4$ dan $6$
$6$ dan $8$

Perhatikan polanya: dalam setiap pasangan bilangan genap berurutan, salah satu bilangan selalu merupakan kelipatan $4$, sedangkan pasangannya minimal kelipatan $2$.

Kita dapat membayangkan keterbagian ini seperti menumpuk 'balok susun' faktor pembagi $2$:

Pihak bilangan genap biasa menyumbang minimal satu 'balok $2$'.
Pihak bilangan kelipatan $4$ menyumbang minimal dua 'balok $2$' ($2 \times 2 = 4$).

Ketika kedua bilangan ini dikalikan, kita menggabungkan seluruh balok tersebut. Totalnya, selalu ada minimal $1 + 2 = 3$ buah 'balok $2$'.

$$2 \times 2 \times 2 = 8$$

Karena selalu terkumpul minimal tiga buah 'balok $2$', hasil kali dua bilangan genap berurutan dipastikan selalu habis dibagi oleh $8$.

Andi mengambil dua buah bilangan genap berdekatan (misalnya 14 dan 16) lalu mengalikannya. Berapakah bilangan bulat terbesar yang selalu dijamin bisa membagi habis hasil perkalian tersebut?

Jawaban: 8

Dua bilangan genap berurutan selalu terdiri dari satu bilangan kelipatan 2 biasa (satu faktor 2) dan satu bilangan kelipatan 4 (dua faktor 2). Jika keduanya dikalikan, selalu terkumpul minimal tiga faktor 2 (2 x 2 x 2 = 8). Bilangan bulat terbesar yang dipastikan selalu membagi habis hasilnya adalah 8.

Keterbagian mutlak dari hasil kali dua bilangan genap berurutan