Membedah Fungsi Gabungan & Range

Beda Domain dan Range

Domain adalah nilai input yang dibaca pada sumbu-$x$, sedangkan range adalah nilai output hasil pada sumbu-$y$. Memahami perbedaan mendasar kedua istilah ini sangat penting agar kita tidak tertukar saat menganalisis batasan suatu fungsi matematika.

Bayangkan sebuah mesin produksi berantai: fungsi adalah mesin pemroses, domain adalah bahan baku mentah yang diizinkan masuk ke dalam corong mesin, sedangkan range adalah seluruh ukuran variasi produk jadi yang keluar di ujung ban berjalan. Jika bahan baku dibatasi, maka ukuran produk yang keluar tentu akan ikut terbatasi secara proporsional.

Secara geometris pada bidang Cartesius, domain selalu dibaca di sepanjang garis horizontal (sumbu-$x$). Pada soal, domain dibatasi oleh selang bilangan riil dari $-2$ sampai $3$, yang ditulis sebagai interval tertutup $-2 \le x \le 3$. Sementara itu, range adalah bayangan proyeksi grafik ke garis tegak vertikal (sumbu-$y$). Mencari range berarti mencari tahu seberapa rendah dan seberapa tinggi nilai luaran $y$ yang terbentuk saat seluruh nilai $x$ dari bahan baku tersebut diproses.

Merakit Mesin Fungsi Baru

Gabungan fungsi harus dihitung secara aljabar suku per suku untuk menjadi satu fungsi baru utuh. Sering kali muncul godaan untuk menghitung nilai fungsi satu per satu pada batas domain lalu mengoperasikannya di akhir. Namun, cara tersebut rawan menimbulkan selip hitung dan memakan waktu lebih lama.

Pada analogi mesin produksi berantai, kita memiliki tiga modul mesin terpisah: $f(x) = 3x - 2$, $g(x) = x + 4$, dan $h(x) = 2 - x$. Operasi gabungan $(f + 2g - h)(x)$ berarti kita menyatukan ketiga modul ini menjadi satu mesin tunggal $k(x)$.

Langkah perakitan aljabar dilakukan dengan memanfaatkan tanda kurung pengaman:

1. Substitusi: Masukkan masing-masing rumus fungsi dasar ke dalam relasi operasi:

   $$k(x) = (3x - 2) + 2(x + 4) - (2 - x)$$

2. Ekspansi: Perhatikan pengali skalar $2$ pada modul $g(x)$. Pengali $2$ harus didistribusikan ke setiap suku di dalam kurung:

   $$2(x + 4) = 2x + 8$$

3. Penyederhanaan: Kumpulkan suku-suku yang sejenis (variabel $x$ dengan variabel $x$, konstanta dengan konstanta):

   $$k(x) = 3x - 2 + 2x + 8 - (2 - x)$$

Menyatukan fungsi secara utuh di awal memberikan gambaran yang jelas mengenai bentuk grafik dan sifat kemonotonan fungsi baru tersebut.

Jebakan Tanda Kurung

Tanda negatif di depan fungsi mengurangi setiap suku di dalamnya. Kesalahan aljabar paling umum pada operasi fungsi terjadi saat membongkar tanda kurung yang didahului oleh tanda minus, seperti pada bagian $- h(x)$.

Ketika kita menuliskan $- (2 - x)$, tanda negatif tersebut setara dengan mengalikan bilangan $-1$ ke seluruh isi tanda kurung:

$$- (2 - x) = (-1 \times 2) + (-1 \times -x) = -2 + x$$

Jika kita tidak berhati-hati dan hanya mengalikan suku pertama, bentuknya akan keliru menjadi $-2 - x$. Akibatnya, suku $x$ yang seharusnya bertambah justru saling menghilangkan.

Bentuk aljabar $k(x) = 6x + 4$ inilah mesin baru yang siap menerima bahan baku domain.