Komposisi Fungsi: Awas Jebakan Aljabar

Substitusi Fungsi

Menentukan $(f \circ g)(x)$ berarti mengganti setiap variabel $x$ pada rumus $f(x)$ dengan seluruh ekspresi $g(x)$.

Secara formal, operasi fungsi komposisi didefinisikan sebagai:

$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

Bayangkan komposisi ini seperti mesin prosesor berantai: mesin $g$ bekerja terlebih dahulu memproses input $x$, lalu seluruh output dari mesin $g$ dialirkan menjadi bahan baku langsung untuk mesin $f$.

Pada soal, kita memiliki dua fungsi:

Untuk membentuk $f(g(x))$, gantikan setiap kemunculan $x$ pada $f(x)$ dengan satu paket utuh pecahan $g(x)$:

$$(f \circ g)(x) = 2\left(\frac{x+1}{2x-1}\right) - 3$$

Menyamakan Penyebut Aljabar

Konstanta bulat harus diubah menjadi pecahan dengan penyebut yang sama sebelum dikurangkan dengan pecahan aljabar.

Setelah melakukan substitusi dan mengalikan pembilang, ekspresi yang kita miliki adalah:

$$\frac{2(x+1)}{2x-1} - 3 = \frac{2x+2}{2x-1} - 3$$

Dua suku aljabar berbentuk pecahan hanya dapat digabungkan jika memiliki penyebut sama. Agar operasi pengurangan valid secara matematis, kita perlu melakukan sinkronisasi format bahan baku: mengubah bilangan bulat $3$ ke bentuk pecahan beraljabar tanpa mengubah nilainya.

Diagram perubahan bilangan bulat 3 menjadi pecahan aljabar dengan mengalikan pembilang dan penyebut 2x-1 .

Prinsip identitas perkalian menyatakan bahwa bilangan apa pun yang dikalikan dengan $1$ nilainya tidak berubah. Kita memilih bilangan $1$ dalam bentuk pecahan istimewa, yaitu penyebut yang kita butuhkan dibagi dirinya sendiri: $\frac{2x-1}{2x-1}$.

$$3 = 3 \times 1 = 3 \times \frac{2x-1}{2x-1} = \frac{3(2x-1)}{2x-1} = \frac{6x-3}{2x-1}$$

Bagaimana bentuk pecahan dari angka 4 agar dapat dijumlahkan dengan pecahan berpenyebut $(x+2)$?

  • $\frac{4x+8}{x+2}$
  • $\frac{4}{x+2}$
  • $\frac{4x+2}{x+2}$
  • $\frac{x+6}{x+2}$

Jawaban: $\frac{4x+8}{x+2}$

Untuk mengubah bilangan bulat $4$ menjadi pecahan berpenyebut $(x+2)$, kalikan dengan pecahan bernilai $1$, yaitu $\frac{x+2}{x+2}$. Hasilnya adalah $4 \times \frac{x+2}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} = \frac{4x+8}{x+2}$. Opsi B salah karena angka 4 hanya ditaruh di atas penyebut tanpa dikalikan. Opsi C salah karena 4 hanya dikalikan ke $x$ tanpa didistribusikan ke 2. Opsi D salah karena pembilangnya dijumlahkan alih-alih dikalikan.

Mengubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut aljabar tertentu melalui perkalian dengan bentuk pecahan bernilai 1.

Distribusi Tanda Negatif

Tanda negatif di depan pecahan atau tanda kurung berlaku untuk semua suku di dalam pembilang tersebut.

Sekarang kedua suku telah memiliki penyebut yang seragam:

$$\frac{2x+2}{2x-1} - \frac{6x-3}{2x-1}$$

Langkah berikutnya adalah menggabungkannya ke dalam satu pecahan tunggal. Karena operasi yang menghubungkannya adalah pengurangan, pembilang suku kedua harus diletakkan di dalam kurung:

$$\frac{(2x+2) - (6x-3)}{2x-1}$$

Diagram aljabar menunjukkan sifat distributif tanda negatif ke suku di dalam kurung.

Sifat distributif aljabar mewajibkan tanda minus di depan kurung didistribusikan ke setiap suku di dalamnya:

$$-(a - b) = -a + b$$

Ketika tanda negatif didistribusikan ke suku $(6x - 3)$:

Maka pembilang berubah menjadi:

$$(2x + 2) - (6x - 3) = 2x + 2 - 6x + 3$$

Evaluasi kebenaran pernyataan berikut terkait sifat distribusi tanda negatif pada bentuk aljabar:

  • Bentuk $5x - (2x - 4)$ dapat disederhanakan menjadi $3x - 4$. — Salah
  • Bentuk $-(3x + 7)$ ekuivalen dengan $-3x - 7$. — Benar

Pernyataan 1 Salah karena tanda negatif harus didistribusikan ke kedua suku di dalam kurung: $5x - (2x - 4) = 5x - 2x + 4 = 3x + 4$, bukan $3x - 4$. Pernyataan 2 Benar karena tanda minus didistribusikan ke kedua suku positif: $-(3x + 7) = -3x - 7$.

Sifat distributif tanda negatif terhadap pengurangan suku aljabar di dalam tanda kurung.