Menaksir Jumlah Deret Akar dengan Prinsip Teleskopik

Masalah Deret Panjang

Menjumlahkan deret pecahan akar yang panjang secara manual sangat tidak efisien, sehingga kita perlu mencari taksiran batas bawahnya.

Pada soal ini, kita berhadapan dengan penjumlahan seratus suku bilangan real:

$$S = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}}$$

Menghitung nilai desimal satu per satu untuk $\sqrt{2}, \sqrt{3}$, sampai $\sqrt{100}$ lalu menjumlahkannya di atas kertas jelas tidak memungkinkan tanpa kalkulator. Oleh karena itu, kita harus memanfaatkan sifat urutan bilangan real untuk memperkirakan rentang nilainya.

Kita memerlukan taksiran aljabar yang lebih ketat agar menemukan batas bawah bulat yang paling mendekati nilai sebenarnya.

Strategi Memperbesar Penyebut

Pecahan positif akan bernilai lebih kecil jika bagian penyebutnya kita perbesar nilainya.

Untuk menentukan sebuah batas bawah, sasaran kita adalah mencari bentuk baru yang dipastikan nilainya lebih kecil daripada suku asli $\frac{1}{\sqrt{k}}$. Kita mulai dengan memanipulasi suku tersebut lewat kesetaraan aljabar sederhana:

$$\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{2}{2\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k}}$$

Perhatikan bagian penyebutnya, yaitu $\sqrt{k} + \sqrt{k}$. Karena $k < k + 1$, maka sudah pasti $\sqrt{k} < \sqrt{k+1}$. Jika salah satu suku $\sqrt{k}$ di penyebut kita ganti dengan $\sqrt{k+1}$, penyebutnya otomatis menjadi lebih besar:

$$\sqrt{k} + \sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k}$$

Karena membagi angka $2$ dengan bilangan yang lebih besar akan menghasilkan nilai pecahan yang lebih kecil, kita memperoleh sebuah ketaksamaan:

$$\frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$$

Bentuk pecahan di ruas kanan dijamin bernilai lebih kecil dari $\frac{1}{\sqrt{k}}$ untuk setiap bilangan asli $k$.

Di antara operasi aljabar berikut, manakah yang dipastikan membuat nilai suatu pecahan positif bernilai lebih kecil?

  • Mengurangi nilai penyebutnya tanpa mengubah pembilangnya.
  • Menambah nilai penyebutnya tanpa mengubah pembilangnya.
  • Menambah nilai pembilang dan penyebutnya dengan angka positif yang sama.
  • Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka positif yang sama.

Jawaban: Menambah nilai penyebutnya tanpa mengubah pembilangnya.

Pada pecahan bernilai positif, memperbesar penyebut berarti membagi pembilang dengan pembagi yang lebih besar, sehingga nilai pecahan menjadi lebih kecil. Sebaliknya, mengurangi penyebut justru memperbesar nilai pecahan (opsi A), dan mengalikan pembilang serta penyebut dengan angka yang sama menghasilkan pecahan senilai (opsi D).

Memahami prinsip mengubah nilai pecahan dengan memanipulasi penyebut.

Merasionalkan Batas Bawah

Mengalikan bentuk pecahan dengan akar sekawan akan mengubah pecahan menjadi bentuk selisih mendatar.

Bentuk pecahan $\frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ masih sulit untuk dijumlahkan secara beruntun hingga 100 suku. Supaya bisa diproses, kita perlu merasionalkan penyebutnya dengan mengalikan pembilang dan penyebut menggunakan bentuk sekawan $(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$:

$$\frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \cdot \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}$$

Perkalian penyebutnya memanfaatkan sifat selisih kuadrat $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (k+1) - k = 1$$

Karena penyebutnya menghasilkan angka $1$, pecahannya langsung berubah bentuk menjadi bentuk selisih mendatar yang rapi:

$$2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$$

Bentuk selisih inilah yang membuka jalan untuk menyelesaikan penjumlahan panjang tersebut.